Реши задание на изображении

Конечно. Разберём задания 40–42 подробно.

Задание 40

Чтобы найти значение функции \(f(a)\), нужно вместо \(x\) подставить число \(a\).

а) \(f(x)=x+\dfrac1x\)

1) Найдём \(f(-1)\)

\[ f(-1)=-1+\frac{1}{-1} \]

\[ f(-1)=-1-1=-2 \]

2) Найдём \(f\left(\dfrac12\right)\)

\[ f\left(\frac12\right)=\frac12+\frac{1}{\frac12} \]

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{1}{\frac12}=2 \]

Значит,

\[ f\left(\frac12\right)=\frac12+2=\frac12+\frac42=\frac52 \]

3) Найдём \(f(10)\)

\[ f(10)=10+\frac1{10} \]

\[ 10=\frac{100}{10} \]

Поэтому

\[ f(10)=\frac{100}{10}+\frac1{10} =\frac{101}{10} \]

Ответ:

\[ \boxed{f(-1)=-2,\quad f\left(\frac12\right)=\frac52,\quad f(10)=\frac{101}{10}} \]

---

б) \(f(x)=3\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

1) Найдём \(f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\[ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) =3\cos\left(-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right) \]

Складываем углы:

\[ -\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2} \]

Тогда

\[ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) =3\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) \]

\[ \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 \]

Следовательно,

\[ f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0 \]

2) Найдём \(f(0)\)

\[ f(0)=3\cos\left(0-\frac{\pi}{4}\right) =3\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \]

Косинус — чётная функция, поэтому

\[ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt2}{2} \]

Значит,

\[ f(0)=3\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{3\sqrt2}{2} \]

3) Найдём \(f(\pi)\)

\[ f(\pi)=3\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) \]

\[ \pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \]

Поэтому

\[ f(\pi)=3\cos\frac{3\pi}{4} \]

\[ \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2} \]

Следовательно,

\[ f(\pi)=-\frac{3\sqrt2}{2} \]

Ответ:

\[ \boxed{ f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0,\quad f(0)=\frac{3\sqrt2}{2},\quad f(\pi)=-\frac{3\sqrt2}{2} } \]

---

в) \(f(x)=\sqrt{5x-x^2}\)

1) Найдём \(f(0)\)

\[ f(0)=\sqrt{5\cdot0-0^2} \]

\[ f(0)=\sqrt0=0 \]

2) Найдём \(f(1)\)

\[ f(1)=\sqrt{5\cdot1-1^2} \]

\[ f(1)=\sqrt{5-1}=\sqrt4=2 \]

3) Найдём \(f(2)\)

\[ f(2)=\sqrt{5\cdot2-2^2} \]

\[ f(2)=\sqrt{10-4}=\sqrt6 \]

Ответ:

\[ \boxed{f(0)=0,\quad f(1)=2,\quad f(2)=\sqrt6} \]

---

г) \(f(x)=2-\sin 2x\)

1) Найдём \(f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\[ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) =2-\sin\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \]

\[ 2\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\pi}{2} \]

Тогда

\[ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) =2-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \]

\[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \]

Следовательно,

\[ f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2-(-1)=3 \]

2) Найдём \(f(0)\)

\[ f(0)=2-\sin(2\cdot0) =2-\sin0 \]

\[ \sin0=0 \]

Значит,

\[ f(0)=2 \]

3) Найдём \(f\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\)

\[ f\left(\frac{5\pi}{12}\right) =2-\sin\left(2\cdot\frac{5\pi}{12}\right) \]

\[ 2\cdot\frac{5\pi}{12}=\frac{5\pi}{6} \]

Поэтому

\[ f\left(\frac{5\pi}{12}\right) =2-\sin\frac{5\pi}{6} \]

\[ \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12 \]

Следовательно,

\[ f\left(\frac{5\pi}{12}\right) =2-\frac12=\frac32 \]

Ответ:

\[ \boxed{ f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=3,\quad f(0)=2,\quad f\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\frac32 } \]

---

Задание 41

Здесь нужно найти значение функции не только в числе, но и в выражении. Важно подставлять всё выражение целиком.

Например:

\[ f(t+1)=(t+1)^2+2(t+1), \]

а не \(f(t)+1\).

а) \(f(x)=x^2+2x\)

1) Найдём \(f(x_0)\)

Вместо \(x\) подставляем \(x_0\):

\[ f(x_0)=x_0^2+2x_0 \]

2) Найдём \(f(t+1)\)

\[ f(t+1)=(t+1)^2+2(t+1) \]

Раскрываем скобки:

\[ (t+1)^2=t^2+2t+1 \]

\[ 2(t+1)=2t+2 \]

Тогда

\[ f(t+1)=t^2+2t+1+2t+2 \]

Приводим подобные слагаемые:

\[ f(t+1)=t^2+4t+3 \]

Ответ:

\[ \boxed{f(x_0)=x_0^2+2x_0} \]

\[ \boxed{f(t+1)=t^2+4t+3} \]

---

б) \(f(x)=\tg 2x\)

1) Найдём \(f(a)\)

\[ f(a)=\tg(2a) \]

2) Найдём \(f(b-1)\)

Вместо \(x\) подставляем \(b-1\):

\[ f(b-1)=\tg\bigl(2(b-1)\bigr) \]

Раскрываем скобки:

\[ 2(b-1)=2b-2 \]

Поэтому

\[ f(b-1)=\tg(2b-2) \]

Ответ:

\[ \boxed{f(a)=\tg 2a} \]

\[ \boxed{f(b-1)=\tg(2b-2)} \]

---

в) \(f(x)=\dfrac1x+1\)

1) Найдём \(f(x_0)\)

\[ f(x_0)=\frac1{x_0}+1 \]

2) Найдём \(f(a+2)\)

\[ f(a+2)=\frac1{a+2}+1 \]

При желании можно привести к общей дроби:

\[ \frac1{a+2}+1 =\frac1{a+2}+\frac{a+2}{a+2} =\frac{a+3}{a+2} \]

Ответ:

\[ \boxed{f(x_0)=\frac1{x_0}+1} \]

\[ \boxed{f(a+2)=\frac1{a+2}+1=\frac{a+3}{a+2}} \]

---

г) \(f(x)=2\cos\dfrac{x}{3}\)

1) Найдём \(f(z)\)

\[ f(z)=2\cos\frac z3 \]

2) Найдём \(f(h+\pi)\)

Вместо \(x\) подставляем \(h+\pi\):

\[ f(h+\pi) =2\cos\frac{h+\pi}{3} \]

Ответ:

\[ \boxed{f(z)=2\cos\frac z3} \]

\[ \boxed{f(h+\pi)=2\cos\frac{h+\pi}{3}} \]

---

Задание 42

Нужно определить, является ли изображённая фигура графиком функции.

Главное правило

График является графиком функции, если каждому значению \(x\) соответствует не более одного значения \(y\).

Для проверки используют метод вертикальной прямой:

• мысленно проводим вертикальную прямую;
• если она пересекает рисунок не более чем в одной точке, фигура может быть графиком функции;
• если хотя бы одна вертикальная прямая пересекает фигуру в двух или более точках, это не график функции.

По рисункам:

а)

Любая вертикальная прямая пересекает фигуру не более чем в одной точке.

\[ \boxed{\text{Да, является графиком функции}} \]

б)

Есть вертикальная прямая, которая пересекает фигуру в нескольких точках. Одному значению \(x\) соответствуют разные значения \(y\).

\[ \boxed{\text{Нет, не является графиком функции}} \]

в)

Также существует вертикальная прямая, пересекающая фигуру более чем в одной точке.

\[ \boxed{\text{Нет, не является графиком функции}} \]

г)

Каждому \(x\) соответствует не более одного \(y\).

\[ \boxed{\text{Да, является графиком функции}} \]

Итог по заданию 42:

\[ \boxed{\text{а) да;\quad б) нет;\quad в) нет;\quad г) да}} \]

Это продолжение текущей учебной цели, а не самостоятельное новое задание: упражнения 43–45 относятся к той же теме функций. Разберём их.

43. Область определения функций

а) \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2-4x+3}\)

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x^2-4x+3\ne0. \]

Разложим на множители:

\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]

Значит,

\[ x\ne1,\qquad x\ne3. \]

\[ \boxed{D(f)=(-\infty;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty)} \]

---

б) \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-9}\)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ x^2-9\ge0. \]

\[ (x-3)(x+3)\ge0. \]

Отсюда:

\[ x\le-3\quad\text{или}\quad x\ge3. \]

\[ \boxed{D(f)=(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)} \]

---

в) \(\displaystyle f(x)=\frac{5-x^2}{x^2+2x-8}\)

Знаменатель не равен нулю:

\[ x^2+2x-8\ne0. \]

Разложим:

\[ x^2+2x-8=(x+4)(x-2). \]

Следовательно,

\[ x\ne-4,\qquad x\ne2. \]

\[ \boxed{D(f)=(-\infty;-4)\cup(-4;2)\cup(2;+\infty)} \]

---

г) \(\displaystyle f(x)=\sqrt{36-x^2}\)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ 36-x^2\ge0. \]

\[ x^2\le36. \]

Значит,

\[ -6\le x\le6. \]

\[ \boxed{D(f)=[-6;6]} \]

---

44. Область определения функций

а) \(\displaystyle f(x)=\frac1{x^3}\)

Знаменатель не может быть равен нулю:

\[ x^3\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne0. \]

\[ \boxed{D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)} \]

---

б) \(f(x)=2\tg x\)

Тангенс не определён, когда

\[ \cos x=0. \]

Это происходит при

\[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

\[ \boxed{D(f)=\mathbb R\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}} \]

---

в) \(f(x)=1+\ctg x\)

Котангенс не определён, когда

\[ \sin x=0. \]

Следовательно,

\[ x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

\[ \boxed{D(f)=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}} \]

---

г) \(\displaystyle f(x)=\frac1{x^4}\)

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x^4\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne0. \]

\[ \boxed{D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)} \]

---

45. Область определения и область значений

а) \(\displaystyle y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\)

Косинус определён при любом \(x\), поэтому

\[ \boxed{D(y)=\mathbb R} \]

Так как

\[ -1\le\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le1, \]

после умножения на \(2\):

\[ -2\le y\le2. \]

\[ \boxed{E(y)=[-2;2]} \]

---

б) \(\displaystyle y=2+\frac4{x-3}\)

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x-3\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne3. \]

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)} \]

Дробь \(\dfrac4{x-3}\) никогда не равна нулю, поэтому \(y\) не может быть равен \(2\):

\[ y\ne2. \]

\[ \boxed{E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)} \]