Реши пожалуйста 3 и 4 задание
Краткий ответ
3. Большая сторона треугольника примерно равна 97 см.
4. Искомые стороны примерно равны 23,3 см и 38,3 см.
Решение
Используем теорему синусов:
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}. \]
Сторона, лежащая напротив большего угла, всегда больше.
Задание 3
Углы треугольника:
\[ 30^\circ,\quad 76^\circ,\quad 180^\circ-30^\circ-76^\circ=74^\circ. \]
Меньшая сторона лежит напротив угла \(30^\circ\), поэтому она равна \(50\) см. Большая сторона \(x\) лежит напротив угла \(76^\circ\):
\[ \frac{x}{\sin76^\circ}=\frac{50}{\sin30^\circ}. \]
\[ x=\frac{50\sin76^\circ}{\sin30^\circ} =\frac{50\cdot0{,}9703}{0{,}5} \approx97{,}03\text{ см}. \]
С точностью до \(1\) см:
\[ \boxed{97\text{ см}}. \]
Проверка: \(97>50\), значит сторона напротив угла \(76^\circ\) действительно больше.
Задание 4
Пусть \(x\) — сторона, противоположная углу \(12^\circ\), а \(y\) — сторона, противоположная углу \(20^\circ\). Тогда
\[ y-x=15. \]
По теореме синусов:
\[ \frac{x}{\sin12^\circ}=\frac{y}{\sin20^\circ}. \]
Представим стороны так:
\[ x=k\sin12^\circ,\qquad y=k\sin20^\circ. \]
Тогда
\[ k(\sin20^\circ-\sin12^\circ)=15. \]
По таблице:
\[ \sin12^\circ\approx0{,}2079,\qquad \sin20^\circ\approx0{,}3420. \]
\[ k=\frac{15}{0{,}3420-0{,}2079} \approx111{,}9. \]
Находим стороны:
\[ x\approx111{,}9\cdot0{,}2079\approx23{,}3\text{ см}, \]
\[ y\approx111{,}9\cdot0{,}3420\approx38{,}3\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 38{,}3-23{,}3=15\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{23{,}3\text{ см и }38{,}3\text{ см}}. \]
Обсуждение
2 сообщенияНапиши теорему, пожалуйста, и объясни её получше.и объясни, откуда ты взял k
Конечно.
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. \]
Здесь:
- \(a\) — сторона, лежащая напротив угла \(A\);
- \(b\) — сторона напротив угла \(B\);
- \(c\) — сторона напротив угла \(C\).
То есть чем больше угол, тем больше сторона, которая лежит напротив него.
Например, в задании 4:
- сторона \(x\) лежит напротив угла \(12^\circ\);
- сторона \(y\) лежит напротив угла \(20^\circ\).
Поэтому
\[ \frac{x}{\sin12^\circ} = \frac{y}{\sin20^\circ}. \]
Откуда взялось \(k\)?
Из теоремы синусов следует, что оба отношения имеют одно и то же значение. Это общее значение удобно обозначить буквой \(k\):
\[ \frac{x}{\sin12^\circ} = \frac{y}{\sin20^\circ} = k. \]
Отсюда:
\[ x=k\sin12^\circ, \qquad y=k\sin20^\circ. \]
\(k\) — это не новое данное число, а просто общий коэффициент пропорциональности.
Например, если два числа относятся как \(2\) и \(3\), их можно записать так:
\[ 2k\quad\text{и}\quad3k. \]
Точно так же стороны \(x\) и \(y\) пропорциональны \(\sin12^\circ\) и \(\sin20^\circ\), поэтому:
\[ x=k\sin12^\circ,\qquad y=k\sin20^\circ. \]
Находим \(k\)
По условию стороны отличаются на \(15\) см:
\[ y-x=15. \]
Подставим выражения через \(k\):
\[ k\sin20^\circ-k\sin12^\circ=15. \]
Вынесем \(k\) за скобки:
\[ k(\sin20^\circ-\sin12^\circ)=15. \]
Теперь разделим на разность синусов:
\[ k= \frac{15}{\sin20^\circ-\sin12^\circ}. \]
Используем значения:
\[ \sin20^\circ\approx0{,}3420,\qquad \sin12^\circ\approx0{,}2079. \]
Тогда
\[ k\approx \frac{15}{0{,}3420-0{,}2079} \approx111{,}9. \]
Теперь найдём стороны:
\[ x=k\sin12^\circ \approx111{,}9\cdot0{,}2079 \approx23{,}3\text{ см}, \]
\[ y=k\sin20^\circ \approx111{,}9\cdot0{,}3420 \approx38{,}3\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 38{,}3-23{,}3=15\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\approx23{,}3\text{ см},\qquad y\approx38{,}3\text{ см}.} \]
