реши номер287и289
Проверка знаков и корней
Я проверяю знаки для множителей типа x - 10, x + 7, x + 1 и x - 4. При x от -7 до -1 произведение положительно; от -1 до 4 — отрицательно; а при x больше 4 оно снова положительно.
Что касается корней, после сортировки я определяю их как -5, -1, 0 и 8. Похоже, интервалы, на которых функция больше нуля, — это (-∞, -5), (-1, 0) и (8, +∞).
Краткий ответ
№ 287
а) \[ x\in(2;5)\cup(12;+\infty) \]
б) \[ x\in(-\infty;-7)\cup(-1;4) \]
в) \[ x\in(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(8;+\infty) \]
№ 289
а) \[ x\in(-\infty;-9)\cup(2;15) \]
б) \[ x\in(-6;0)\cup(5;+\infty) \]
в) \[ x\in(1;4)\cup(8;16) \]
Объяснение
Сначала находим нули каждого множителя. В этих точках произведение равно нулю, поэтому при строгих знаках \(>\) и \(<\) корни не включаются.
Так как все множители имеют положительный коэффициент при \(x\), справа от наибольшего корня произведение положительно. При переходе через каждый простой корень знак меняется.
№ 287
а) Корни: \(2,\ 5,\ 12\).
Знак «плюс» получается на интервалах:
\[ (2;5),\qquad (12;+\infty). \]
б) Корни: \(-7,\ -1,\ 4\).
Нужно выбрать интервалы, где произведение отрицательно:
\[ (-\infty;-7),\qquad (-1;4). \]
в) Корни: \(-5,\ -1,\ 0,\ 8\).
Знак «плюс» получается на каждом втором интервале, начиная с первого:
\[ (-\infty;-5),\qquad (-1;0),\qquad (8;+\infty). \]
№ 289
а) Корни: \(-9,\ 2,\ 15\).
Для отрицательного произведения:
\[ (-\infty;-9),\qquad (2;15). \]
б) Корни: \(-6,\ 0,\ 5\).
Для положительного произведения:
\[ (-6;0),\qquad (5;+\infty). \]
в) Корни: \(1,\ 4,\ 8,\ 16\).
Для отрицательного произведения:
\[ (1;4),\qquad (8;16). \]
Обсуждение
6 сообщенийреши очень подробно номер 287 в
№ 287(в)
Решаем неравенство:
\[ (x+5)(x+1)x(x-8)>0. \]
1. Найдём нули множителей
Каждый множитель приравняем к нулю:
\[ \begin{aligned} x+5&=0 &&\Rightarrow x=-5,\\ x+1&=0 &&\Rightarrow x=-1,\\ x&=0,\\ x-8&=0 &&\Rightarrow x=8. \end{aligned} \]
Отметим точки на числовой прямой:
\[ -5<-1<0<8. \]
Они разбивают числовую прямую на пять промежутков:
\[ (-\infty;-5),\quad (-5;-1),\quad (-1;0),\quad (0;8),\quad (8;+\infty). \]
2. Определим знак произведения
Проверим знак произведения на каждом промежутке. Для этого возьмём по одному числу из каждого промежутка.
| Промежуток | Проверочное число | Знаки множителей | Знак произведения |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;-5)\) | \(x=-6\) | \((-)(-)(-)(-)\) | \(+\) |
| \((-5;-1)\) | \(x=-2\) | \((+)(-)(-)(-)\) | \(-\) |
| \((-1;0)\) | \(x=-\frac12\) | \((+)(+)(-)(-)\) | \(+\) |
| \((0;8)\) | \(x=1\) | \((+)(+)(+)(-)\) | \(-\) |
| \((8;+\infty)\) | \(x=9\) | \((+)(+)(+)(+)\) | \(+\) |
Например, для \(x=-6\):
\[ (x+5)(x+1)x(x-8) =(-1)\cdot(-5)\cdot(-6)\cdot(-14)>0, \]
так как четыре отрицательных множителя дают положительное произведение.
3. Выберем подходящие промежутки
Нам нужно, чтобы произведение было больше нуля, поэтому берём промежутки со знаком «+»:
\[ (-\infty;-5),\qquad (-1;0),\qquad (8;+\infty). \]
Точки \(-5,-1,0,8\) не включаются, потому что при них произведение равно нулю, а не больше нуля.
Ответ
\[ \boxed{x\in(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(8;+\infty)} \]
х был перед первой скобкой а не третьей
х был перед первой скобкой а не третьей
Да, исправляю: правильное неравенство имеет вид
\[ x(x+5)(x+1)(x-8)>0. \]
В предыдущем ответе множители были записаны в другом порядке. Но произведение от порядка множителей не меняется, поэтому решение и ответ остаются теми же.
Нули множителей:
\[ x=0,\qquad x=-5,\qquad x=-1,\qquad x=8. \]
Расположим их по возрастанию:
\[ -5<-1<0<8. \]
Проверим знаки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-5)&(-5;-1)&(-1;0)&(0;8)&(8;+\infty)\\ \hline x(x+5)(x+1)(x-8)&+&-&+&-&+ \end{array} \]
Нужно выбрать промежутки, где произведение положительно:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(8;+\infty)}. \]
Точки \(-5,-1,0,8\) не включаются, так как неравенство строгое: \(>0\).
Да, тогда неравенство записывается так:
\[ x(x+5)(x+1)(x-8)>0. \]
Я просто записал множители в другом порядке:
\[ (x+5)(x+1)x(x-8)>0. \]
Это одно и то же произведение, потому что множители можно переставлять местами. Поэтому нули и знаки не меняются:
\[ -5,\;-1,\;0,\;8. \]
Положительное произведение получается на промежутках:
\[ (-\infty;-5),\qquad (-1;0),\qquad (8;+\infty). \]
Ответ тот же:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(8;+\infty)}. \]
