Реши задание на изображении

Краткий ответ:

\[ \boxed{\text{б) }\vec 0} \]

\[ \boxed{\text{г) }\overrightarrow{PN}} \]

\[ \boxed{\text{е) }\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KH}} \]

Верные утверждения для прямоугольника:

\[ \boxed{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 10} \]

1. Упрощение выражений

Используем правила:

\[ -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA},\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. \]

б)

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{KM} -\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{KP} &=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MK} +\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{KP}\\ &=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KA}\\ &=\vec 0. \end{aligned} \]

г)

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{AP} &=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PA}\\ &=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{PA}\\ &=\overrightarrow{PN}. \end{aligned} \]

е)

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{HK}-\overrightarrow{AK} &=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{KH}+\overrightarrow{KA}\\ &=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KH}. \end{aligned} \]

2. Проверка утверждений

Для прямоугольника \(ABCD\):

1. \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{AC}\) — верно.

2. \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB} =\overrightarrow{AB}\) — верно.

3. Левая часть равна \(\overrightarrow{AB}\), а не \(\overrightarrow{BA}\) — неверно.

4. \(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BD}\), поэтому

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AD} \]

— верно.

5. В параллелограмме \(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}\), поэтому

\[ \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{DB} \]

— верно.

\[ \overrightarrow{AO}-\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AB}\ne\overrightarrow{BA} \]

— неверно.

7. \(O\) — середина диагонали \(AC\), значит \(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}\) — верно.

8. Диагонали прямоугольника равны по длине, но векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) направлены по-разному — неверно.

9. Противоположные стороны имеют равные и сонаправленные векторы:

\[ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD} \]

— верно.

10. \(O\) — середина диагонали \(BD\), поэтому

\[ |\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{DO}| \]

— верно.