Реши задание на изображении
Решение квадратной задачи
Мне нужно найти абсциссу вершины квадратного трёхчлена, который пересекает биссектрису первой координатной четверти в заданных точках. Я рассматриваю приведённую форму квадратного уравнения, вероятно, \(y = x^2 + bx + c\). Учитывая пересечения при \(x = 14\) и \(x = 30\), я могу подставить эти значения в уравнение, чтобы найти \(b\). После вычислений получаю \(b = -43\), что даёт абсциссу вершины \(21{,}5\). Возможно, существуют более простые соотношения, но я хочу быть основательным.
Вычисление вершины
Я работаю с уравнением \(p - x = x^2 + (b-1)x + c\), которое приводит к \(p = x^2 - 43x + 420\). Вершина находится при \(x = 21{,}5\), то есть между точками 14 и 30. Я хочу начать с краткого ответа вроде «Ответ: 21,5», а затем пояснить свои действия. Также я планирую проверить пересечения с \(y = x^2 - 43x + 420\) при \(x = 14\) и \(30\), чтобы подтвердить вычисления.
Ответ: \(\displaystyle x_{\text{вершины}}=\frac{43}{2}=21{,}5\).
Пусть график трёхчлена имеет вид
\[
y=x^2+bx+c,
\]
так как трёхчлен приведённый, коэффициент при \(x^2\) равен \(1\).
Точки пересечения с биссектрисой первой координатной четверти \(y=x\) имеют абсциссы \(14\) и \(30\). Значит, уравнение пересечения: \[ x^2+bx+c=x. \]
Перенесём всё в левую часть: \[ x^2+(b-1)x+c=0. \]
Его корни — \(14\) и \(30\), поэтому: \[ x^2+(b-1)x+c=(x-14)(x-30) =x^2-44x+420. \]
Отсюда: \[ b-1=-44,\qquad b=-43. \]
Абсцисса вершины квадратного трёхчлена \(y=ax^2+bx+c\): \[ x_{\text{вершины}}=-\frac{b}{2a}. \]
Так как \(a=1\), получаем: \[ x_{\text{вершины}}=-\frac{-43}{2}=\frac{43}{2}=21{,}5. \]
Проверка: \(21{,}5\) находится между \(14\) и \(30\), как и должно быть для оси симметрии параболы.
