224
Краткий ответ (действительные корни):
а) \(x=\pm3,\ \pm4\);
б) действительных корней нет;
в) \(x=\pm\sqrt2\);
г) \(t=\pm\sqrt3\);
д) \(x=\pm2,\ \pm\frac12\);
е) действительных корней нет.
Основной способ
Вводим замену:
\[ z=x^2,\qquad z\ge 0. \]
Тогда \(x^4=z^2\). После решения квадратного уравнения возвращаемся к переменной.
а)
\[ x^4-25x^2+144=0 \]
\[ z^2-25z+144=0 \]
\[ (z-9)(z-16)=0. \]
\[ z=9\quad\text{или}\quad z=16. \]
Значит,
\[ x^2=9\Rightarrow x=\pm3, \qquad x^2=16\Rightarrow x=\pm4. \]
б)
\[ y^4+14y^2+48=0 \]
\[ z^2+14z+48=0 \]
\[ (z+6)(z+8)=0. \]
Получаем \(z=-6\) или \(z=-8\), но \(z=y^2\ge0\). Поэтому действительных корней нет.
в)
\[ x^4-4x^2+4=0 \]
\[ z^2-4z+4=(z-2)^2=0. \]
\[ z=2\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2. \]
г)
\[ t^4-2t^2-3=0 \]
\[ z^2-2z-3=(z-3)(z+1)=0. \]
\[ z=3\quad\text{или}\quad z=-1. \]
Подходит только \(z=3\):
\[ t^2=3\Rightarrow t=\pm\sqrt3. \]
д)
\[ 2x^4-9x^2+4=0 \]
\[ 2z^2-9z+4=0. \]
\[ D=(-9)^2-4\cdot2\cdot4=49, \]
\[ z=\frac{9\pm7}{4}. \]
Отсюда:
\[ z=4\quad\text{или}\quad z=\frac12. \]
\[ x^2=4\Rightarrow x=\pm2, \qquad x^2=\frac12\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt2}{2}. \]
Важное исправление: \(\frac{\sqrt2}{2}\ne\frac12\).
е)
\[ 5y^4-5y^2+2=0 \]
\[ 5z^2-5z+2=0. \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot5\cdot2=25-40=-15<0. \]
Квадратное уравнение не имеет действительных значений \(z\), поэтому действительных корней \(y\) нет.
Проверка: в каждом случае полученные значения дают допустимые \(z\ge0\), а отрицательные значения \(z\) отбрасываются, так как квадрат переменной не может быть отрицательным.
Обсуждение
4 сообщенияРазбери, почему отрицательные значения z отбрасывают
При замене
\[ z=x^2 \]
переменная \(z\) получает ограничение:
\[ z\ge 0, \]
потому что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным:
\[ x^2=x\cdot x\ge0. \]
Например:
\[ 3^2=9,\qquad (-3)^2=9,\qquad 0^2=0. \]
Отрицательного квадрата действительного числа не существует.
Поэтому после решения уравнения относительно \(z\) мы проверяем полученные значения:
- если \(z>0\), то
\[ x=\pm\sqrt z; \] - если \(z=0\), то
\[ x=0; \] - если \(z<0\), действительных значений \(x\) нет.
Например, в пункте б получилось:
\[ z=-6\quad\text{или}\quad z=-8. \]
Это означало бы:
\[ y^2=-6\quad\text{или}\quad y^2=-8, \]
что невозможно для действительного \(y\). Поэтому эти значения отбрасываем.
В пункте г одно из решений было \(z=-1\):
\[ t^2=-1. \]
Действительного \(t\) нет. Если бы рассматривались комплексные числа, тогда \(t=\pm i\), но в школьной задаче обычно ищут действительные корни.
224 реши
224. Найдите корни биквадратного уравнения
Используем замену:
\[ z=x^2,\quad z=y^2\quad\text{или}\quad z=t^2, \]
при этом всегда \(z\ge 0\).
а)
\[ x^4-25x^2+144=0 \]
Пусть \(z=x^2\):
\[ z^2-25z+144=0, \]
\[ (z-9)(z-16)=0. \]
\[ z=9\quad\text{или}\quad z=16. \]
Следовательно,
\[ x^2=9\Rightarrow x=\pm3, \]
\[ x^2=16\Rightarrow x=\pm4. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\pm3;\ \pm4} \]
б)
\[ y^4+14y^2+48=0 \]
Пусть \(z=y^2\):
\[ z^2+14z+48=0, \]
\[ (z+6)(z+8)=0. \]
\[ z=-6\quad\text{или}\quad z=-8. \]
Но \(z=y^2\ge0\), поэтому отрицательные значения не подходят.
Ответ:
\[ \boxed{\text{действительных корней нет}} \]
в)
\[ x^4-4x^2+4=0 \]
Пусть \(z=x^2\):
\[ z^2-4z+4=0, \]
\[ (z-2)^2=0. \]
\[ z=2\Rightarrow x^2=2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\pm\sqrt2} \]
г)
\[ t^4-2t^2-3=0 \]
Пусть \(z=t^2\):
\[ z^2-2z-3=0, \]
\[ (z-3)(z+1)=0. \]
\[ z=3\quad\text{или}\quad z=-1. \]
Значение \(z=-1\) не подходит, так как \(z=t^2\ge0\). Тогда
\[ t^2=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{t=\pm\sqrt3} \]
д)
\[ 2x^4-9x^2+4=0 \]
Пусть \(z=x^2\):
\[ 2z^2-9z+4=0. \]
Дискриминант:
\[ D=(-9)^2-4\cdot2\cdot4=49. \]
\[ z=\frac{9\pm7}{4}. \]
Получаем:
\[ z=4\quad\text{или}\quad z=\frac12. \]
Тогда
\[ x^2=4\Rightarrow x=\pm2, \]
\[ x^2=\frac12\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac12} =\pm\frac{\sqrt2}{2}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\pm2;\ \pm\frac{\sqrt2}{2}} \]
е)
\[ 5y^4-5y^2+2=0 \]
Пусть \(z=y^2\):
\[ 5z^2-5z+2=0. \]
Дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot5\cdot2=25-40=-15<0. \]
Действительных значений \(z\) нет, поэтому действительных корней \(y\) также нет.
Ответ:
\[ \boxed{\text{действительных корней нет}} \]
