Третий вариант

Краткие ответы

1. \(x\ne2,\;x\ne-1\).
2. \(\displaystyle \frac{2-x}{x+2}\), при \(x\ne-2,\;2\).
3. \(\displaystyle \frac{2a+5}{a(a+1)}\), при \(a\ne0,\;-1\).
4. \(\displaystyle 2x+\frac7{x-2}\), при \(x\ne2\).
5. График прямой \(\boxed{y=3x-3}\) с выколотыми точками \((0;-3)\) и \((3;6)\).
6. \(\boxed{a=2,\;b=-6}\).

Решение

1. Допустимые значения переменной

Знаменатели не должны быть равны нулю:

\[ x-2\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne2, \]

\[ x+1\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne-1. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\mathbb R\setminus\{-1;2\}}. \]

---

2. Сокращение дроби

Разложим на множители:

\[ x^2-4x+4=(x-2)^2, \]

\[ 4-x^2=-(x^2-4) = -(x-2)(x+2). \]

Тогда

\[ \frac{x^2-4x+4}{4-x^2} = \frac{(x-2)^2}{-(x-2)(x+2)} = -\frac{x-2}{x+2} = \boxed{\frac{2-x}{x+2}}. \]

При сокращении сохраняем ограничения исходной дроби:

\[ x\ne2,\qquad x\ne-2. \]

---

3. Упрощение выражения

\[ \frac{a+3}{a^2+a}-\frac1{a+1}+\frac2a. \]

Разложим знаменатель:

\[ a^2+a=a(a+1). \]

Приведём дроби к общему знаменателю \(a(a+1)\):

\[ \frac{a+3}{a(a+1)} -\frac{a}{a(a+1)} +\frac{2(a+1)}{a(a+1)}. \]

Объединим числители:

\[ \frac{a+3-a+2a+2}{a(a+1)} = \boxed{\frac{2a+5}{a(a+1)}}. \]

Ограничения:

\[ a\ne0,\qquad a\ne-1. \]

---

4. Выделение целой и дробной частей

Разделим числитель на знаменатель:

\[ 2x^2-4x+7=2x(x-2)+7. \]

Следовательно,

\[ \frac{2x^2-4x+7}{x-2} = \boxed{2x+\frac7{x-2}}. \]

Целая часть: \(2x\), дробная часть: \(\displaystyle\frac7{x-2}\).

---

5. Построение графика

Дана функция:

\[ y=\frac{x^2-6x+9}{3-x}+\frac{4x^2-6x}{x}. \]

Разложим числители:

\[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \]

\[ 4x^2-6x=x(4x-6). \]

Тогда

\[ \frac{(x-3)^2}{3-x} = \frac{(x-3)^2}{-(x-3)} = 3-x,\qquad x\ne3, \]

\[ \frac{x(4x-6)}x=4x-6,\qquad x\ne0. \]

Получаем:

\[ y=3-x+4x-6=3x-3. \]

Но ограничения исходной функции нужно сохранить:

\[ x\ne0,\qquad x\ne3. \]

Значит, строим прямую

\[ \boxed{y=3x-3} \]

и убираем точки:

\[ x=0:\quad y=-3 \Rightarrow (0;-3), \]

\[ x=3:\quad y=6 \Rightarrow (3;6). \]

Обе точки на графике будут выколотыми.

---

6. Нахождение \(a\) и \(b\)

\[ \frac{ax^2+x+b}{x+2}=2x-3. \]

При \(x\ne-2\) умножим обе части на \(x+2\):

\[ ax^2+x+b=(2x-3)(x+2). \]

Раскроем скобки:

\[ (2x-3)(x+2)=2x^2+4x-3x-6=2x^2+x-6. \]

Сравниваем коэффициенты:

\[ a=2,\qquad b=-6. \]

Проверка:

\[ \frac{2x^2+x-6}{x+2} = \frac{(x+2)(2x-3)}{x+2} = 2x-3,\qquad x\ne-2. \]

Ответ:

\[ \boxed{a=2,\quad b=-6}. \]