Третий вариант

Краткие ответы

1. \(x\ne2,\;x\ne-1\).
2. \(\displaystyle \frac{2-x}{x+2},\quad x\ne-2,\;x\ne2.\)
3. \(\displaystyle \frac{2a+5}{a(a+1)},\quad a\ne0,\;a\ne-1.\)
4. \(\displaystyle 2x+\frac{7}{x-2},\quad x\ne2.\)
5. График прямой \(y=3x-3\) с выколотыми точками \((0;-3)\) и \((3;6)\).
6. \(a=2,\quad b=-6.\)

Решение

1. Допустимые значения переменной

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x-2\ne0 \Rightarrow x\ne2, \]

\[ x+1\ne0 \Rightarrow x\ne-1. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\ne2,\;x\ne-1}. \]

---

2. Сокращение дроби

Разложим на множители:

\[ x^2-4x+4=(x-2)^2, \]

\[ 4-x^2=-(x^2-4) = -(x-2)(x+2). \]

Тогда

\[ \frac{x^2-4x+4}{4-x^2} = \frac{(x-2)^2}{-(x-2)(x+2)} = -\frac{x-2}{x+2} = \frac{2-x}{x+2}. \]

При сокращении сохраняем ограничения исходной дроби:

\[ x\ne2,\qquad x\ne-2. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{2-x}{x+2}},\qquad \boxed{x\ne2,\;-2}. \]

---

3. Упрощение выражения

ОДЗ:

\[ a^2+a=a(a+1)\ne0, \]

поэтому

\[ a\ne0,\qquad a\ne-1. \]

Приведём дроби к общему знаменателю \(a(a+1)\):

\[ \frac{a+3}{a(a+1)} -\frac{a}{a(a+1)} +\frac{2(a+1)}{a(a+1)}. \]

Складываем числители:

\[ a+3-a+2a+2=2a+5. \]

Получаем:

\[ \boxed{\frac{2a+5}{a(a+1)}},\qquad \boxed{a\ne0,\;-1}. \]

---

4. Выделение целой и дробной частей

Разделим \(2x^2-4x+7\) на \(x-2\):

\[ \frac{2x^2-4x+7}{x-2} = 2x+\frac{7}{x-2}. \]

Проверка:

\[ (x-2)\cdot2x+7=2x^2-4x+7. \]

Ответ:

\[ \boxed{2x+\frac{7}{x-2}},\qquad x\ne2. \]

Целая часть — \(2x\), дробная часть — \(\displaystyle \frac7{x-2}\).

---

5. Построение графика

Сначала найдём ОДЗ:

\[ 3-x\ne0 \Rightarrow x\ne3, \]

\[ x\ne0. \]

Разложим числители:

\[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \]

\[ 4x^2-6x=2x(2x-3). \]

Тогда

\[ y=\frac{(x-3)^2}{3-x}+\frac{2x(2x-3)}x. \]

Сокращаем с учётом ограничений:

\[ \frac{(x-3)^2}{3-x}=3-x, \]

\[ \frac{2x(2x-3)}x=4x-6. \]

Следовательно,

\[ y=3-x+4x-6=3x-3. \]

Значит, строим прямую

\[ \boxed{y=3x-3}, \]

но точки, соответствующие запрещённым значениям, удаляем:

• при \(x=0\): \(y=-3\), точка \((0;-3)\);
• при \(x=3\): \(y=6\), точка \((3;6)\).

На графике это будут выколотые точки:

\[ \boxed{(0;-3),\;(3;6)}. \]

---

6. Нахождение \(a\) и \(b\)

Дано:

\[ \frac{ax^2+x+b}{x+2}=2x-3. \]

При \(x\ne-2\) умножим обе части на \(x+2\):

\[ ax^2+x+b=(2x-3)(x+2). \]

Раскроем скобки:

\[ (2x-3)(x+2)=2x^2+x-6. \]

Значит,

\[ ax^2+x+b=2x^2+x-6. \]

Сравниваем коэффициенты:

\[ a=2,\qquad b=-6. \]

Проверка:

\[ \frac{2x^2+x-6}{x+2} = \frac{(x+2)(2x-3)}{x+2} =2x-3,\qquad x\ne-2. \]

Ответ:

\[ \boxed{a=2,\quad b=-6}. \]