номер 91 и 92 полностью

Краткие ответы:

91.
а) \(\displaystyle \frac{x+y}{xy}\);
б) \(\displaystyle \frac{2n}{n+m}\);
в) \(\displaystyle \frac{a-2}{a}\);
г) \(\displaystyle \frac{u^2}{u-v}\);
д) \(\displaystyle \frac1d\);
е) \(\displaystyle ab(b-a)\).

92.
а) \(\displaystyle \frac{b-a}{ab}\);
б) \(\displaystyle xy(x-y)\);
в) \(\displaystyle \frac{x-y}{xy}\);
г) \(\displaystyle a^2b^2\).

Главный принцип: разложить разности квадратов, привести дроби к общему знаменателю, а деление заменить умножением на обратную дробь.

91

а)

\[ \frac{xy}{x-y}\left(\frac1{y^2}-\frac1{x^2}\right) \]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac1{y^2}-\frac1{x^2} =\frac{x^2-y^2}{x^2y^2} =\frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2}. \]

Тогда

\[ \frac{xy}{x-y}\cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2} =\boxed{\frac{x+y}{xy}}. \]

ОДЗ: \(x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne y\).

---

б)

\[ \frac{mn^2}{n^2-m^2} \left(\frac2m-\frac2n\right) \]

Разложим разность квадратов:

\[ n^2-m^2=(n-m)(n+m). \]

Разность дробей:

\[ \frac2m-\frac2n=\frac{2(n-m)}{mn}. \]

Подставим:

\[ \frac{mn^2}{(n-m)(n+m)} \cdot\frac{2(n-m)}{mn} =\boxed{\frac{2n}{n+m}}. \]

ОДЗ: \(m\ne0,\ n\ne0,\ n\ne m,\ n\ne-m\).

---

в)

\[ \left(a-\frac{6a-4}{a+2}\right) \cdot\frac{a+2}{a^2-2a} \]

Сначала упростим выражение в скобках:

\[ a-\frac{6a-4}{a+2} =\frac{a(a+2)-(6a-4)}{a+2} \]

\[ =\frac{a^2+2a-6a+4}{a+2} =\frac{a^2-4a+4}{a+2} =\frac{(a-2)^2}{a+2}. \]

Кроме того,

\[ a^2-2a=a(a-2). \]

Тогда

\[ \frac{(a-2)^2}{a+2}\cdot \frac{a+2}{a(a-2)} =\boxed{\frac{a-2}{a}}. \]

ОДЗ: \(a\ne-2,\ a\ne0,\ a\ne2\).

---

г)

\[ \left(\frac{u}{u-v}-\frac{u}{u+v}\right) \cdot\frac{u^2+uv}{2v} \]

Приведём разность к общему знаменателю:

\[ \frac{u}{u-v}-\frac{u}{u+v} = \frac{u(u+v)-u(u-v)}{(u-v)(u+v)} \]

\[ =\frac{u^2+uv-u^2+uv}{(u-v)(u+v)} =\frac{2uv}{(u-v)(u+v)}. \]

Также

\[ u^2+uv=u(u+v). \]

Следовательно,

\[ \frac{2uv}{(u-v)(u+v)} \cdot\frac{u(u+v)}{2v} =\boxed{\frac{u^2}{u-v}}. \]

ОДЗ: \(v\ne0,\ u\ne v,\ u\ne-v\).

---

д)

\[ \left(\frac{c-d}{d}+\frac{2c}{c-d}\right): \frac{c^2+d^2}{c-d} \]

Сначала сложим дроби:

\[ \frac{c-d}{d}+\frac{2c}{c-d} = \frac{(c-d)^2+2cd}{d(c-d)}. \]

Раскроем скобки:

\[ (c-d)^2+2cd=c^2-2cd+d^2+2cd=c^2+d^2. \]

Теперь деление заменим умножением:

\[ \frac{c^2+d^2}{d(c-d)} \cdot\frac{c-d}{c^2+d^2} =\boxed{\frac1d}. \]

ОДЗ: \(d\ne0,\ c\ne d,\ c^2+d^2\ne0\).

---

е)

\[ \left(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}\right): \frac{a+b}{a^2b^2} \]

Разность дробей:

\[ \frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b} = \frac{(a+b)b-(a+b)a}{ab} \]

\[ =\frac{(a+b)(b-a)}{ab}. \]

Теперь делим на дробь:

\[ \frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot\frac{a^2b^2}{a+b} = \boxed{ab(b-a)}. \]

ОДЗ: \(a\ne0,\ b\ne0,\ a+b\ne0\).

---

92

а)

\[ \left(\frac ba-\frac ab\right):(a+b) \]

\[ \frac ba-\frac ab =\frac{b^2-a^2}{ab} =\frac{(b-a)(b+a)}{ab}. \]

Тогда

\[ \frac{(b-a)(b+a)}{ab}:(a+b) = \frac{(b-a)(a+b)}{ab(a+b)} =\boxed{\frac{b-a}{ab}}. \]

ОДЗ: \(a\ne0,\ b\ne0,\ a+b\ne0\).

---

б)

\[ (x^2-y^2):\left(\frac1x+\frac1y\right) \]

Разложим разность квадратов:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Сложим дроби:

\[ \frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}. \]

Получаем:

\[ (x-y)(x+y):\frac{x+y}{xy} \]

\[ =(x-y)(x+y)\cdot\frac{xy}{x+y} =\boxed{xy(x-y)}. \]

ОДЗ: \(x\ne0,\ y\ne0,\ x+y\ne0\).

---

в)

\[ \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right):(x-y) \]

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\[ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 = \frac{x^2+y^2-2xy}{xy} \]

\[ =\frac{(x-y)^2}{xy}. \]

Теперь делим на \(x-y\):

\[ \frac{(x-y)^2}{xy}:(x-y) = \frac{(x-y)^2}{xy(x-y)} =\boxed{\frac{x-y}{xy}}. \]

ОДЗ: \(x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne y\).

---

г)

\[ (a+b)^2: \left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac2{ab}\right) \]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac2{ab} = \frac{b^2+a^2+2ab}{a^2b^2} \]

\[ =\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}. \]

Следовательно,

\[ (a+b)^2:\frac{(a+b)^2}{a^2b^2} = (a+b)^2\cdot\frac{a^2b^2}{(a+b)^2} =\boxed{a^2b^2}. \]

ОДЗ: \(a\ne0,\ b\ne0,\ a+b\ne0\).

Во всех преобразованиях сокращались только ненулевые множители, что обеспечивается указанными ограничениями ОДЗ.