Реши номер 3

Волк не отстанет от Зайца: его скорость больше — \(10>8\) м/с. Во время остановки Зайца на \(20\) секунд Волк пробежит

\[ 10\cdot20=200\text{ м}, \]

поэтому, наоборот, увеличит свой отрыв.

Ответ: \(0\) секунд.

Четыре шарика купить нельзя, так как даже четыре самых дешёвых стоят:

\[ 6+7+8+9=30>25. \]

Значит, наибольшее количество — 3 шарика.

Подходящие наборы цен:

\[ \begin{aligned} &(6,7,8),(6,7,9),(6,7,10),(6,7,11),(6,7,12),\\ &(6,8,9),(6,8,10),(6,8,11),\\ &(6,9,10),\\ &(7,8,9),(7,8,10). \end{aligned} \]

Всего 11 способов.

Ответ: \(11\).

Задание 5

Пусть начальная высота равна \(h\).

До четвёртого касания земли мяч пролетел:

\[ h+2\left(\frac h3+\frac h9+\frac h{27}\right)=106. \]

\[ h+2\cdot\frac{13h}{27}=106, \qquad \frac{53h}{27}=106, \]

\[ h=54\text{ м}. \]

а) Ответ: \(54\) м.

Высота подъёма после каждого отскока:

\[ 18\text{ м},\quad 6\text{ м},\quad 2\text{ м},\quad \frac23\text{ м}. \]

Впервые меньше \(1\) м она станет после четвёртого отскока.

б) Ответ: после 4-го отскока.

Задание 6

Разложим число \(252\) на простые множители:

\[ 252=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7. \]

Цифра \(1\) запрещена, а цифра \(0\) невозможна, так как произведение цифр не равно нулю.

а) Наибольшее значение \(n\)

Чтобы получить наибольшее число, нужно использовать как можно больше цифр. Максимально можно взять пять цифр:

\[ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 7. \]

Расположим их по убыванию:

\[ n=73322. \]

Ответ: \(\boxed{73322}\).

б) Наименьшее значение \(n\)

Двух цифр недостаточно, потому что

\[ 9\cdot9=81<252. \]

Три цифры могут иметь произведение \(252\):

\[ 4\cdot7\cdot9=252,\qquad 6\cdot6\cdot7=252. \]

Наименьшие числа из этих цифр:

\[ 479 \quad\text{и}\quad 667. \]

Следовательно,

\[ \boxed{479}. \]

Ответ: \(\boxed{479}\).

Ответ: \(\boxed{78}\).

Сумма записанных чисел равна количеству пар «мина — соседняя клетка без мины».

Если мина стоит внутри поля, у неё \(8\) соседей. Если хотя бы одна мина находится на границе, то её соседей не более \(5\), поэтому сумма будет не больше

\[ 9\cdot 8+5=77. \]

Значит, все мины нужно расположить внутри поля. Внутренняя часть поля \(6\times6\) разбивается на \(9\) квадратов \(2\times2\). При размещении \(10\) мин в одном из них окажутся две соседние мины. Поэтому из общего количества

\[ 10\cdot8=80 \]

нужно вычесть две пары, соответствующие соседству этих двух мин:

\[ 80-2=78. \]

Например, мины можно поставить в клетках

\[ (2,2),(2,4),(2,6),\ (4,2),(4,4),(4,6),\ (6,2),(6,4),(6,6),\ (7,7). \]

Здесь соседними являются только мины в клетках \((6,6)\) и \((7,7)\), поэтому максимум равен

\[ \boxed{78}. \]

Задание 7

Обозначим через \(d\) число соседей у клетки с миной. Сумма чисел на пустых клетках равна количеству пар «мина — соседняя пустая клетка».

• У внутренней клетки \(8\) соседей.
• У клетки на границе — не более \(5\) соседей.

Если хотя бы одна мина находится на границе, то сумма не превосходит

\[ 9\cdot 8+5=77. \]

Рассмотрим случай, когда все 10 мин находятся внутри поля. Внутренняя часть доски имеет размер \(6\times6\) и разбивается на девять квадратов \(2\times2\). При размещении 10 мин две из них обязательно окажутся в одном таком квадрате, то есть будут соседними.

Всего у 10 внутренних мин:

\[ 10\cdot 8=80 \]

соседних клеток. Одна пара соседних мин посчитана дважды, поэтому вычитаем \(2\):

\[ 80-2=78. \]

Такое расположение возможно, например, если поставить мины в клетках

\[ (2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6), \] \[ (6,2),(6,4),(6,6),(7,7). \]

Только мины в клетках \((6,6)\) и \((7,7)\) являются соседними.

\[ \boxed{78} \]

Задание 7

Сумма чисел на пустых клетках равна количеству пар «мина — соседняя пустая клетка».

1. Если хотя бы одна мина стоит на границе, у неё не более \(5\) соседей, а у остальных — не более \(8\). Тогда сумма не превосходит

\[ 5+9\cdot 8=77. \]

2. Рассмотрим случай, когда все 10 мин находятся внутри поля. Внутренняя часть доски имеет размер \(6\times6\) и разбивается на \(9\) квадратов \(2\times2\). При размещении 10 мин в одном таком квадрате окажутся две мины. Они являются соседями.

Всего у 10 внутренних мин могло бы быть

\[ 10\cdot 8=80 \]

соседних клеток. Но соседняя пара мин даёт потерю \(2\): каждая из этих мин имеет одну соседнюю клетку, занятую миной.

\[ 80-2=78. \]

Это значение достижимо, например, если поставить мины в клетках

\[ (2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6), \] \[ (6,2),(6,4),(6,6),(7,7). \]

Только мины в клетках \((6,6)\) и \((7,7)\) соседствуют.

\[ \boxed{78} \]

Задание 8

Пусть:

• \(m\) — число математиков;
• \(f\) — число физиков;
• \(i\) — число информатиков.

По условию:

\[ m>2f,\qquad 3f>4i,\qquad 3i>m. \]

Так как числа целые, получаем:

\[ m\ge 2f+1,\qquad 3f\ge4i+1,\qquad m\le3i-1. \]

Из первых и третьих неравенств:

\[ 2f+1\le3i-1, \]

\[ 2f\le3i-2. \]

Умножим это неравенство на \(3\):

\[ 6f\le9i-6. \]

А из \(3f\ge4i+1\), умножив на \(2\), получаем:

\[ 6f\ge8i+2. \]

Следовательно,

\[ 8i+2\le9i-6, \]

\[ i\ge8. \]

При \(i=8\):

\[ 3f>32 \Rightarrow f\ge11, \]

\[ m>2\cdot11 \Rightarrow m\ge23. \]

Проверим:

\[ 23>2\cdot11,\qquad 3\cdot11>4\cdot8,\qquad 3\cdot8>23. \]

Общее число школьников:

\[ 23+11+8=\boxed{42}. \]

Ответ: \(\boxed{42}\).