реши

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} \text{а)}\;&\frac{x+3y}{x^2-9y^2}=\frac1{x-3y}, &&x\ne \pm 3y;\\[2mm] \text{б)}\;&\frac{a^2-6ab+9b^2}{a^2-9b^2} =\frac{a-3b}{a+3b}, &&a\ne \pm 3b;\\[2mm] \text{в)}\;&\frac{x^2-49y^2}{49y^2+14xy+x^2} =\frac{x-7y}{x+7y}, &&x\ne -7y;\\[2mm] \text{г)}\;&\frac{(m-4n)^2}{32n^2-2m^2} =\frac{4n-m}{2(m+4n)}, &&m\ne \pm4n. \end{aligned} \]

Решение

Знак «\( : \)» заменяем дробной чертой и раскладываем многочлены на множители.

а)

\[ x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y) \]

\[ \frac{x+3y}{x^2-9y^2} =\frac{x+3y}{(x-3y)(x+3y)} =\frac1{x-3y}. \]

б)

\[ a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2, \]

\[ a^2-9b^2=(a-3b)(a+3b). \]

Тогда

\[ \frac{(a-3b)^2}{(a-3b)(a+3b)} =\frac{a-3b}{a+3b}. \]

в)

\[ x^2-49y^2=(x-7y)(x+7y), \]

\[ 49y^2+14xy+x^2=(x+7y)^2. \]

Следовательно,

\[ \frac{(x-7y)(x+7y)}{(x+7y)^2} =\frac{x-7y}{x+7y}. \]

г)

\[ (m-4n)^2=(4n-m)^2, \]

\[ 32n^2-2m^2 =2(16n^2-m^2) =2(4n-m)(4n+m). \]

Поэтому

\[ \frac{(4n-m)^2}{2(4n-m)(4n+m)} =\frac{4n-m}{2(4n+m)} =\frac{4n-m}{2(m+4n)}. \]

При сокращении общий множитель должен быть ненулевым, поэтому ограничения в ответах сохраняются.