скоро контрольная по геометрии помоги мне подготовится

Ничего страшного — разберёмся. Напиши, в каком ты классе, и пришли фото последних записей или страниц учебника по геометрии: я определю темы и составлю короткую подготовку с примерами.

Ничего страшного — разберёмся вместе. В каком ты классе? По классу я составлю короткий план подготовки и дам типичные задачи для тренировки.

Отлично, значит, скорее всего, темы — смежные углы и перпендикулярные прямые.

1. Смежные углы

Смежные углы имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие стороны образуют прямую линию.

Их сумма всегда равна:

\[ \angle 1+\angle 2=180^\circ \]

Пример: если один угол \(65^\circ\), то смежный с ним:

\[ 180^\circ-65^\circ=115^\circ \]

Важно: не любые два угла с общей стороной являются смежными — их внешние стороны должны быть продолжениями одной прямой.

2. Перпендикулярные прямые

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом:

\[ a\perp b \]

Прямой угол равен:

\[ 90^\circ \]

Если две прямые перпендикулярны, то при пересечении образуются четыре угла по \(90^\circ\).

Пример с уравнением

Смежные углы равны \(3x+10^\circ\) и \(2x+20^\circ\). Найдём \(x\):

\[ (3x+10)+(2x+20)=180 \]

\[ 5x+30=180 \]

\[ 5x=150 \]

\[ x=30 \]

Углы:

\[ 3\cdot30+10=100^\circ, \qquad 2\cdot30+20=80^\circ \]

Проверка:

\[ 100^\circ+80^\circ=180^\circ \]

Попробуй решить

1. Один из смежных углов равен \(48^\circ\). Чему равен второй?
2. Один из углов при пересечении перпендикулярных прямых равен \(90^\circ\). Чему равны остальные?
3. Смежные углы равны \(x+30^\circ\) и \(2x^\circ\). Найди \(x\) и оба угла.

Первые два задания решены правильно:

1. \(180^\circ-48^\circ=132^\circ\).
2. При перпендикулярных прямых все четыре угла равны \(90^\circ\).

Третье задание

Смежные углы вместе дают \(180^\circ\). Поэтому складываем выражения:

\[ (x+30)+2x=180 \]

Порядок не важен: можно написать и \(2x+(x+30)=180\).

Решаем:

\[ x+30+2x=180 \]

\[ 3x+30=180 \]

\[ 3x=150 \]

\[ x=50 \]

Теперь находим углы:

\[ x+30=50+30=80^\circ, \]

\[ 2x=2\cdot50=100^\circ. \]

Ответ: \(x=50\), углы равны \(80^\circ\) и \(100^\circ\). Проверка: \(80^\circ+100^\circ=180^\circ\).

По твоим ответам основу ты уже понимаешь: первые два задания решила правильно, а в третьем поняла, что выражения смежных углов нужно сложить и приравнять к \(180^\circ\). Чтобы уверенно написать контрольную на «5», повтори следующее:

Что обязательно знать

1. Смежные углы \[ \alpha+\beta=180^\circ \] Если известен один угол, второй находят так: \[ 180^\circ-\alpha \]

2. Перпендикулярные прямые При их пересечении образуются четыре прямых угла: \[ 90^\circ \]

3. Вертикальные углы
   Если эта тема была на уроке, запомни: вертикальные углы равны.

4. Задачи с \(x\)

• смежные углы складываем и приравниваем к \(180^\circ\);
• угол при перпендикулярных прямых приравниваем к \(90^\circ\);
• после нахождения \(x\) обязательно вычисляем сами углы и проверяем.

Алгоритм решения

1. Определи, какие углы даны: смежные, вертикальные или при перпендикулярных прямых.
2. Запиши свойство: \(180^\circ\), \(90^\circ\) или равенство углов.
3. Составь уравнение.
4. Найди \(x\).
5. Подставь \(x\) и проверь ответ.

Мини-тренировка

1. Один смежный угол равен \(37^\circ\). Найди второй.
2. Смежные углы равны \(4x+10^\circ\) и \(2x+20^\circ\). Найди \(x\).
3. Один угол при пересечении прямых равен \(128^\circ\). Чему равен вертикальный угол и два смежных?
4. При перпендикулярных прямых угол равен \(x+15^\circ\). Найди \(x\).

Реши эти четыре задания — по ним я проверю, насколько ты готова к контрольной.

Первое задание решено правильно:

\[ 180^\circ-37^\circ=143^\circ. \]

Разберём уравнение из второго задания:

\[ (4x+10)+(2x+20)=180 \]

Шаг 1. Уберём скобки и объединим похожие слагаемые

\[ 4x+2x+10+20=180 \]

\[ 6x+30=180 \]

Шаг 2. Уберём \(30\)

Вычитаем \(30\) из обеих частей:

\[ 6x=180-30 \]

\[ 6x=150 \]

Шаг 3. Найдём \(x\)

\(6x\) — это \(6\cdot x\), поэтому делим обе части на \(6\):

\[ x=\frac{150}{6}=25 \]

Теперь проверим углы:

\[ 4\cdot25+10=110^\circ, \]

\[ 2\cdot25+20=70^\circ. \]

\[ 110^\circ+70^\circ=180^\circ \]

Ответ: \(x=25\), углы \(110^\circ\) и \(70^\circ\).

Запомни порядок:

1. сложить выражения и приравнять к \(180^\circ\);
2. объединить слагаемые с \(x\);
3. убрать обычное число;
4. разделить на число перед \(x\).

Не обязательно! Первое задание ты решила правильно, а уравнения можно быстро натренировать. Давай один шаг вместе:

\[ (3x+5)+(x+15)=180 \]

Получаем:

\[ 4x+20=180. \]

Чтобы убрать \(20\), нужно записать:

\[ 4x=180-20 \]

или

\[ 4x=180+20? \]

Да, правильно: первый вариант.

\[ 4x+20=180 \]

При переносе \(+20\) в правую часть знак меняется:

\[ 4x=180-20=160 \]

Теперь делим на \(4\):

\[ x=160:4=40 \]

Проверка:

\[ 3\cdot40+5=125^\circ,\qquad 40+15=55^\circ \]

\[ 125^\circ+55^\circ=180^\circ \]

Ты правильно поняла правило. Точнее, «перенос» — это вычитание \(20\) из обеих частей уравнения.

По твоим ответам пробел только в решении уравнений: свойства смежных и перпендикулярных углов ты понимаешь. Ещё стоит потренироваться выбирать, что использовать: \(180^\circ\), \(90^\circ\) или равенство вертикальных углов.

Мини-тест

1. Один из смежных углов равен \(64^\circ\). Найди второй.

2. Две прямые перпендикулярны. Чему равны все образовавшиеся углы?

3. Смежные углы равны \(3x+15^\circ\) и \(2x^\circ\). Найди \(x\) и углы.

4. Угол при перпендикулярных прямых равен \(x+18^\circ\). Найди \(x\).

5. Один из углов равен \(127^\circ\). Найди вертикальный ему угол и смежный угол.

Решай по порядку и присылай ответы — я проверю и точно скажу, что ещё повторить.

Проверим:

1. Правильно: \[ 180^\circ-64^\circ=116^\circ. \]

2. Правильно: при перпендикулярных прямых все углы по \(90^\circ\).

3. Здесь нужно составить уравнение:

\[ (3x+15)+2x=180 \]

\[ 5x+15=180 \]

Переносим \(15\):

\[ 5x=180-15=165 \]

\[ x=165:5=33 \]

Теперь углы:

\[ 3\cdot33+15=114^\circ, \qquad 2\cdot33=66^\circ. \]

Ответ: \(x=33\), углы \(114^\circ\) и \(66^\circ\). Числа \(75^\circ\) и \(105^\circ\) дают сумму \(180^\circ\), но не подходят к данным выражениям.

4. Если угол образован перпендикулярными прямыми, он равен \(90^\circ\). Поэтому:

\[ x+18=90 \]

\[ x=90-18=72. \]

Ответ: \(x=72\).

5. Если ты имела в виду смежный угол \(53^\circ\), то это правильно:

• вертикальный угол — \(127^\circ\);
• смежный угол: \[ 180^\circ-127^\circ=53^\circ. \]

Что повторить

Главный пробел сейчас — понять, какое число ставить справа в уравнении:

• смежные углы: \(\alpha+\beta=180^\circ\);
• перпендикулярные прямые: угол \(=90^\circ\);
• вертикальные углы равны.

В целом задания 1, 2 и 5 ты решила правильно.

Конечно. Ты уже умеешь составлять уравнение, а нужно восстановить правила его решения.

1. Что такое уравнение

Уравнение — это равенство с неизвестным числом, обычно \(x\).

Например:

\[ x+18=90 \]

Корень уравнения — значение \(x\), при котором равенство становится верным.

Главное правило:

С обеими частями уравнения можно выполнять одинаковые действия.

Пример

\[ 4x+20=180 \]

Вычтем \(20\) из обеих частей:

\[ 4x+20-20=180-20 \]

\[ 4x=160 \]

Теперь делим обе части на \(4\):

\[ x=40 \]

Правило «при переносе знак меняется» — это короткая запись:

\[ +20 \text{ перенесли вправо и получили } -20. \]

---

2. Основные виды уравнений

Уравнение	Что делаем
\(x+7=12\)	\(x=12-7=5\)
\(x-7=12\)	\(x=12+7=19\)
\(5x=35\)	\(x=35:5=7\)
\(\dfrac{x}{4}=6\)	\(x=6\cdot4=24\)

Если есть похожие слагаемые

\[ 4x+2x=6x \]

\[ 10+20=30 \]

Но \(4x\) и \(10\) объединить нельзя — это разные виды слагаемых.

Если есть скобки

Используем правило:

\[ a(b+c)=ab+ac \]

Например:

\[ 2(x+3)=14 \]

Раскрываем скобки:

\[ 2x+6=14 \]

\[ 2x=14-6=8 \]

\[ x=4 \]

---

3. Как решать уравнения в геометрии

Сначала определяем свойство углов:

• смежные углы: \[ \alpha+\beta=180^\circ; \]
• вертикальные углы: \[ \alpha=\beta; \]
• перпендикулярные прямые: каждый угол равен \[ 90^\circ. \]

Пример со смежными углами

Углы равны \(2x+10^\circ\) и \(x+20^\circ\).

Так как они смежные:

\[ (2x+10)+(x+20)=180 \]

\[ 3x+30=180 \]

\[ 3x=180-30 \]

\[ 3x=150 \]

\[ x=50 \]

Теперь находим углы:

\[ 2\cdot50+10=110^\circ, \]

\[ 50+20=70^\circ. \]

Проверка:

\[ 110^\circ+70^\circ=180^\circ. \]

---

4. Что ещё повторить перед контрольной

Если контрольная по первой главе 7 класса, обычно повторяют:

1. Прямая, луч, отрезок

   • прямая не имеет концов;
   • луч имеет начало, но не имеет конца;
   • отрезок имеет два конца.

2. Углы

   • острый: меньше \(90^\circ\);
   • прямой: \(90^\circ\);
   • тупой: больше \(90^\circ\), но меньше \(180^\circ\);
   • развёрнутый: \(180^\circ\).

3. Измерение углов

   • угол измеряют транспортиром;
   • вершина угла должна совпадать с центром транспортира.

4. Середина отрезка Делит отрезок на два равных отрезка.

5. Биссектриса угла Делит угол на два равных угла.

6. Смежные углы Их сумма равна \(180^\circ\).

7. Вертикальные углы Они равны.

8. Перпендикулярные прямые Пересекаются под углом \(90^\circ\).

Мини-тест

Реши самостоятельно:

1. \[ x+18=90 \]

2. \[ 7x=56 \]

3. Смежные углы равны \(2x+10^\circ\) и \(x+20^\circ\). Найди \(x\) и углы.

4. Вертикальные углы равны \(3x+15^\circ\) и \(x+55^\circ\). Найди \(x\).

5. Определи вид углов: \(35^\circ\), \(90^\circ\), \(140^\circ\), \(180^\circ\).

По этим заданиям будет хорошо видно, что именно ещё нужно потренировать.

Ты правильно решила 1, 2 и 5:

• \(x=72\) — верно;
• \(x=8\) — верно;
• \(35^\circ\) — острый, \(90^\circ\) — прямой, \(140^\circ\) — тупой, \(180^\circ\) — развёрнутый.

Какую оценку можно ожидать?

Точно сказать нельзя: всё зависит от количества баллов за задания. Если бы в мини-тесте каждое задание оценивалось одинаково, сейчас было бы 3 правильных из 5, то есть обычно это «3». Но задания 3 и 4 как раз можно быстро освоить.

Куда что ставить в уравнении

Вид углов	Уравнение
Смежные	\(\text{первый угол}+\text{второй угол}=180^\circ\)
Вертикальные	\(\text{первый угол}=\text{второй угол}\)
Перпендикулярные прямые	\(\text{угол}=90^\circ\)

Задание 3: смежные углы

Углы \(2x+10^\circ\) и \(x+20^\circ\). Смежные углы складываются:

\[ (2x+10)+(x+20)=180 \]

Сначала объединяем похожие слагаемые:

\[ 2x+x+10+20=180 \]

\[ 3x+30=180 \]

Переносим \(30\):

\[ 3x=180-30 \]

\[ 3x=150 \]

Делим на \(3\):

\[ x=50 \]

Находим углы:

\[ 2\cdot50+10=110^\circ, \]

\[ 50+20=70^\circ. \]

Задание 4: вертикальные углы

Углы \(3x+15^\circ\) и \(x+55^\circ\). Вертикальные углы равны, поэтому не складываем их:

\[ 3x+15=x+55 \]

Переносим \(x\) влево, а \(15\) вправо:

\[ 3x-x=55-15 \]

\[ 2x=40 \]

\[ x=20 \]

Теперь угол:

\[ 3\cdot20+15=75^\circ. \]

Второй тоже:

\[ 20+55=75^\circ. \]

Ответ: \(x=20\), оба вертикальных угла равны \(75^\circ\).

Если под «после запятой» ты имеешь в виду десятичные числа: в этих заданиях они не нужны. Но если получится, например, \(5:2\), то записываем \(x=2{,}5\), а градусы ставим только у готового угла: \(12{,}5^\circ\).