Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(x=3\)
2. \(x=\dfrac12\)
3. \(x=4\)
4. \(x=1\)
5. \(x\in\{0;1\}\)
6. \(x>3\)
7. \(x>-\dfrac73\)

Решение

1. \(4^x=64\)

Представим числа в виде степеней двойки:

\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}, \qquad 64=2^6. \]

Тогда:

\[ 2x=6 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=3}. \]

Проверка: \(4^3=64\).

---

2. \(\left(\dfrac19\right)^x=\dfrac13\)

Представим дроби как степени тройки:

\[ \frac19=3^{-2}, \qquad \frac13=3^{-1}. \]

Получаем:

\[ (3^{-2})^x=3^{-1}, \]

\[ 3^{-2x}=3^{-1}. \]

Основания одинаковые, значит, равны показатели:

\[ -2x=-1 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=\frac12}. \]

Проверка:

\[ \left(\frac19\right)^{1/2}=\frac13. \]

---

3. \(8^{x-4}=3^{x-4}\)

Разделим обе части на \(3^{x-4}\):

\[ \left(\frac83\right)^{x-4}=1. \]

Основание \(\dfrac83\neq1\), поэтому степень равна единице только при нулевом показателе:

\[ x-4=0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=4}. \]

Проверка: \(8^0=3^0=1\).

---

4. \(2^{3x+2}-2^{3x-2}=30\)

Вынесем меньшую степень:

\[ 2^{3x-2}\left(2^4-1\right)=30. \]

\[ 2^{3x-2}\cdot15=30, \]

\[ 2^{3x-2}=2=2^1. \]

Следовательно,

\[ 3x-2=1, \]

\[ 3x=3 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=1}. \]

Проверка:

\[ 2^{3\cdot1+2}-2^{3\cdot1-2}=2^5-2^1=32-2=30. \]

---

5. \(9^x-4\cdot3^x+3=0\)

Так как \(9^x=(3^2)^x=(3^x)^2\), введём замену:

\[ t=3^x,\qquad t>0. \]

Тогда:

\[ t^2-4t+3=0. \]

Разложим на множители:

\[ (t-1)(t-3)=0. \]

Отсюда:

\[ t=1 \quad\text{или}\quad t=3. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ 3^x=1 \Rightarrow x=0, \]

\[ 3^x=3 \Rightarrow x=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=0\ или\ x=1}. \]

Проверка:

• при \(x=0\): \(1-4+3=0\);
• при \(x=1\): \(9-12+3=0\).

---

6. \(5^x>125\)

Представим \(125\) как степень пятёрки:

\[ 125=5^3. \]

Тогда:

\[ 5^x>5^3. \]

Поскольку основание \(5>1\), функция возрастает, поэтому:

\[ \boxed{x>3}. \]

---

7. \(\left(\dfrac12\right)^x<\sqrt[3]{128}\)

Представим правую часть как степень двойки:

\[ \sqrt[3]{128}=\sqrt[3]{2^7}=2^{7/3}. \]

Левая часть:

\[ \left(\frac12\right)^x=2^{-x}. \]

Получаем:

\[ 2^{-x}<2^{7/3}. \]

Основание \(2>1\), значит:

\[ -x<\frac73. \]

Умножаем на \(-1\) и меняем знак неравенства:

\[ \boxed{x>-\frac73}. \]