Реши 5

Задание 5

\[ \frac{a+5}{a^9}-\frac{5a^3+1}{a^{12}} \]

Приведём дроби к общему знаменателю \(a^{12}\):

\[ \frac{a^3(a+5)-(5a^3+1)}{a^{12}} \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{a^4+5a^3-5a^3-1}{a^{12}} =\frac{a^4-1}{a^{12}}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{a^4-1}{a^{12}}} \]

Это вариант 1.ОДЗ: \(a\ne0\).

Задание 5:

\[ \frac{a+5}{a^9}-\frac{5a^3+1}{a^{12}} \]

Приведём к общему знаменателю \(a^{12}\):

\[ \frac{a^3(a+5)-(5a^3+1)}{a^{12}} \]

\[ =\frac{a^4+5a^3-5a^3-1}{a^{12}} =\boxed{\frac{a^4-1}{a^{12}}}. \]

Ответ: 1) \(\displaystyle \frac{a^4-1}{a^{12}}\), \(a\ne0\).

Пришли фото или текст 6-го задания — его условия нет в чате.

Пришли фото или текст 6-го задания — его условия в чате нет.

6. Упростим выражение:

\[ \frac{5y}{x^2+xy}-\frac{5x}{xy+y^2} \]

Разложим знаменатели:

\[ x^2+xy=x(x+y),\qquad xy+y^2=y(x+y). \]

Тогда

\[ \frac{5y}{x(x+y)}-\frac{5x}{y(x+y)} = \frac{5y^2-5x^2}{xy(x+y)}. \]

Используем разность квадратов:

\[ \frac{5(y^2-x^2)}{xy(x+y)} = \frac{5(y-x)(y+x)}{xy(x+y)} = \boxed{\frac{5(y-x)}{xy}}. \]

Ответ: 3).
ОДЗ: \(x\ne0,\ y\ne0,\ x+y\ne0\).

6. Упростим выражение:

\[ \frac{5y}{x^2+xy}-\frac{5x}{xy+y^2} \]

Разложим знаменатели на множители:

\[ x^2+xy=x(x+y),\qquad xy+y^2=y(x+y). \]

Тогда:

\[ \frac{5y}{x(x+y)}-\frac{5x}{y(x+y)} =\frac{5y^2-5x^2}{xy(x+y)}. \]

Используем разность квадратов:

\[ \frac{5(y^2-x^2)}{xy(x+y)} =\frac{5(y-x)(y+x)}{xy(x+y)} =\boxed{\frac{5(y-x)}{xy}}. \]

Ответ: \(\boxed{\frac{5(y-x)}{xy}}\) — вариант 3.
ОДЗ: \(x\ne0,\ y\ne0,\ x+y\ne0\).

\[ \boxed{\frac{24-5a-a^3}{a^2-9}},\qquad a\ne \pm3 \]

Решение:

\[ \frac{a^2-3a}{a^2-9}-\frac8{a+3}+\frac a{3-a}-a \]

Разложим на множители:

\[ a^2-3a=a(a-3),\qquad a^2-9=(a-3)(a+3),\qquad 3-a=-(a-3). \]

Тогда:

\[ \frac{a}{a+3}-\frac8{a+3}-\frac a{a-3}-a = \frac{a-8}{a+3}-\frac a{a-3}-a. \]

Приведём к общему знаменателю \((a+3)(a-3)=a^2-9\):

\[ \frac{(a-8)(a-3)-a(a+3)-a(a^2-9)}{a^2-9}. \]

\[ \frac{a^2-11a+24-a^2-3a-a^3+9a}{a^2-9} = \boxed{\frac{24-5a-a^3}{a^2-9}}. \]

ОДЗ: \(\boxed{a\ne3,\ a\ne-3}\).

Задание 8

\[ \frac1{x(x-1)}+\frac1{(x-1)(x-2)} +\frac1{(x-2)(x-3)}-\frac3{x(x-3)} \]

Представим дроби в виде разностей:

\[ \frac1{x(x-1)}=\frac1{x-1}-\frac1x, \]

\[ \frac1{(x-1)(x-2)}=\frac1{x-2}-\frac1{x-1}, \]

\[ \frac1{(x-2)(x-3)}=\frac1{x-3}-\frac1{x-2}. \]

Тогда:

\[ \begin{aligned} &\frac1{x-1}-\frac1x+ \frac1{x-2}-\frac1{x-1}+ \frac1{x-3}-\frac1{x-2} -\frac3{x(x-3)}\\ &=\frac1{x-3}-\frac1x-\frac3{x(x-3)}. \end{aligned} \]

Но

\[ \frac1{x-3}-\frac1x =\frac{x-(x-3)}{x(x-3)} =\frac3{x(x-3)}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{0}. \]

ОДЗ: \(x\ne0,1,2,3\). Если в условии указано \(x=4\), ответ также \(\boxed{0}\).