Третий вариант
Краткий ответ — вариант 3
- \(x\ne2,\;x\ne-1\).
- \(\displaystyle \frac{2-x}{x+2}\), при \(x\ne2,-2\).
- \(\displaystyle \frac{2a+5}{a(a+1)}\), при \(a\ne0,-1\).
- \(\displaystyle 2x+\frac{7}{x-2}\), при \(x\ne2\).
- \(\displaystyle y=3x-3,\quad x\ne0,3\).
График — прямая \(y=3x-3\) с выколотыми точками \((0;-3)\) и \((3;6)\). - \(\boxed{a=2,\;b=-6}\).
Ключевые шаги
1. Допустимые значения
Знаменатели не должны быть равны нулю:
\[ x-2\ne0\Rightarrow x\ne2, \]
\[ x+1\ne0\Rightarrow x\ne-1. \]
Следовательно,
\[ x\in\mathbb R\setminus\{-1;2\}. \]
2. Сокращение дроби
Разложим на множители:
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2, \]
\[ 4-x^2=-(x^2-4)=-(x-2)(x+2). \]
Тогда
\[ \frac{(x-2)^2}{-(x-2)(x+2)} =-\frac{x-2}{x+2} =\frac{2-x}{x+2}. \]
Исходная дробь не определена при \(x=2\) и \(x=-2\), поэтому эти ограничения сохраняются.
3. Упрощение выражения
\[ a^2+a=a(a+1). \]
Общий знаменатель:
\[ a(a+1). \]
Получаем:
\[ \frac{a+3}{a(a+1)} -\frac{a}{a(a+1)} +\frac{2(a+1)}{a(a+1)}. \]
Объединяем числители:
\[ \frac{a+3-a+2a+2}{a(a+1)} =\frac{2a+5}{a(a+1)}. \]
Ограничения:
\[ a\ne0,\qquad a\ne-1. \]
4. Выделение целой и дробной частей
Представим числитель в виде:
\[ 2x^2-4x+7=(x-2)\cdot2x+7. \]
Значит,
\[ \frac{2x^2-4x+7}{x-2} =2x+\frac{7}{x-2}. \]
5. Построение графика
Упростим каждую дробь:
\[ \frac{x^2-6x+9}{3-x} =\frac{(x-3)^2}{-(x-3)} =-(x-3)=3-x, \quad x\ne3. \]
\[ \frac{4x^2-6x}{x} =\frac{x(4x-6)}x=4x-6, \quad x\ne0. \]
Тогда
\[ y=(3-x)+(4x-6)=3x-3. \]
Но значения \(x=0\) и \(x=3\) запрещены, поэтому на прямой нужно сделать выколотые точки:
\[ x=0:\quad y=-3, \]
\[ x=3:\quad y=6. \]
То есть выколотые точки:
\[ (0;-3),\qquad (3;6). \]
6. Нахождение \(a\) и \(b\)
Дано:
\[ \frac{ax^2+x+b}{x+2}=2x-3. \]
При \(x\ne-2\) умножим обе части на \(x+2\):
\[ ax^2+x+b=(2x-3)(x+2). \]
Раскроем скобки:
\[ (2x-3)(x+2)=2x^2+x-6. \]
Сравниваем коэффициенты:
\[ a=2,\qquad b=-6. \]
Проверка:
\[ \frac{2x^2+x-6}{x+2} =\frac{(x+2)(2x-3)}{x+2} =2x-3,\quad x\ne-2. \]
