Найти f’(3) и f’(1), если f(x)=1/x + 1/x степень2

Дана функция: \[ f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}, \qquad x\ne 0. \]

Найти: \[ f'(3)\quad \text{и}\quad f'(1). \]

1. Представим дроби в виде степеней

Используем правило: \[ \frac{1}{x^n}=x^{-n}. \]

Тогда: \[ f(x)=x^{-1}+x^{-2}. \]

2. Найдём производную функции

Применяем правило производной степени: \[ (x^n)'=n x^{n-1}. \]

Получаем: \[ f'(x)=(x^{-1})'+(x^{-2})'. \]

Вычислим производные каждого слагаемого: \[ (x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}, \] \[ (x^{-2})'=-2\cdot x^{-3}=-2x^{-3}. \]

Значит, \[ f'(x)=-x^{-2}-2x^{-3}. \]

Возвращаемся к дробям: \[ f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}. \]

3. Найдём \(f'(3)\)

Подставим \(x=3\): \[ f'(3)=-\frac{1}{3^2}-\frac{2}{3^3}. \]

Вычислим степени: \[ f'(3)=-\frac19-\frac{2}{27}. \]

Приведём к общему знаменателю \(27\): \[ -\frac19=-\frac{3}{27}. \]

Тогда: \[ f'(3)=-\frac{3}{27}-\frac{2}{27} =-\frac{5}{27}. \]

4. Найдём \(f'(1)\)

Подставим \(x=1\): \[ f'(1)=-\frac{1}{1^2}-\frac{2}{1^3}. \]

Так как \(1^2=1\) и \(1^3=1\), получаем: \[ f'(1)=-1-2=-3. \]

Ответ

\[ \boxed{f'(3)=-\frac{5}{27}},\qquad \boxed{f'(1)=-3}. \]