Зроби малюнок до цієї вправи який потрібно записати у зошит 11 клас геометрія Бічні ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні і рівні. Бічна поверхня піраміди дорівнює S. Знайдіть площу основи піраміди.

Коротка відповідь: \[ \boxed{S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3}{3}S} \]

Малюнок для зошита

Познач вершину піраміди \(D\), а основу — трикутник \(ABC\). Пунктиром можна показати невидиме ребро \(AB\).

                         D
                       / | \
                     /   |   \
                   /     |     \
                 A - - - - - - - B
                  \      |      /
                   \     |     /
                    \    |    /
                     \   |   /
                      \  |  /
                       \ | /
                        \|/
                         C

На ребрах \(DA\), \(DB\), \(DC\) постав однакові позначки:

\[ DA=DB=DC=\ell. \]

Поруч із рисунком запиши:

\[ DA\perp DB,\qquad DB\perp DC,\qquad DC\perp DA. \]

Розв’язання

Кожна бічна грань є прямокутним рівнобедреним трикутником, тому:

\[ S_{\text{біч}}= 3\cdot\frac{\ell^2}{2}=S. \]

Звідси:

\[ \ell^2=\frac{2S}{3}. \]

За теоремою Піфагора для основи:

\[ AB=BC=CA=\sqrt{\ell^2+\ell^2} =\ell\sqrt2. \]

Отже, основа \(ABC\) — рівносторонній трикутник. Його площа:

\[ S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3}{4}(\ell\sqrt2)^2 =\frac{\sqrt3}{2}\ell^2. \]

Підставимо \(\ell^2=\frac{2S}{3}\):

\[ S_{\text{осн}} =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2S}{3} =\boxed{\frac{\sqrt3}{3}S}. \]

Перевірка:

\[ 3\cdot\frac12\ell^2 =3\cdot\frac12\cdot\frac{2S}{3}=S. \]