решить 183

Конечно. Разберём все пункты подробно.

Важное правило

Если в уравнении есть квадратный корень:

\[ \sqrt{A}=B, \]

то левая часть всегда неотрицательна. Поэтому обязательно должно быть:

\[ A\ge 0,\qquad B\ge 0. \]

После возведения в квадрат полезно выполнить проверку.

---

1) \(\sqrt{3-x}=2\)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ 3-x\ge 0. \]

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{3-x})^2=2^2. \]

Получаем:

\[ 3-x=4. \]

Перенесём \(3\) вправо:

\[ -x=4-3, \]

\[ -x=1, \]

\[ x=-1. \]

Проверка:

\[ \sqrt{3-(-1)}=\sqrt4=2. \]

Значит,

\[ \boxed{x=-1}. \]

---

2) \(\sqrt{3x+1}=8\)

Возведём обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{3x+1})^2=8^2. \]

Тогда:

\[ 3x+1=64. \]

Вычтем \(1\):

\[ 3x=63. \]

Разделим на \(3\):

\[ x=21. \]

Проверка:

\[ \sqrt{3\cdot21+1} =\sqrt{63+1} =\sqrt{64} =8. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x=21}. \]

---

3) \(\sqrt{3-4x}=2x\)

Сначала учтём ограничения.

Подкоренное выражение:

\[ 3-4x\ge0. \]

Отсюда:

\[ -4x\ge-3, \]

\[ x\le\frac34. \]

Правая часть тоже должна быть неотрицательной:

\[ 2x\ge0, \]

\[ x\ge0. \]

Значит, возможные решения должны находиться в промежутке:

\[ 0\le x\le\frac34. \]

Теперь возведём уравнение в квадрат:

\[ (\sqrt{3-4x})^2=(2x)^2. \]

Получаем:

\[ 3-4x=4x^2. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ 4x^2+4x-3=0. \]

Разложим на множители:

\[ (2x-1)(2x+3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ 2x-1=0 \quad\text{или}\quad 2x+3=0. \]

Отсюда:

\[ x=\frac12 \quad\text{или}\quad x=-\frac32. \]

Но \(x\ge0\), поэтому значение \(x=-\frac32\) не подходит.

Проверка подходящего корня:

\[ \sqrt{3-4\cdot\frac12} =\sqrt{3-2} =\sqrt1=1, \]

\[ 2\cdot\frac12=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\frac12}. \]

---

4) \(\sqrt{3x^2+5x-1}=3x\)

Правая часть должна быть неотрицательной:

\[ 3x\ge0, \]

поэтому

\[ x\ge0. \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{3x^2+5x-1})^2=(3x)^2. \]

Получаем:

\[ 3x^2+5x-1=9x^2. \]

Перенесём всё в правую часть:

\[ 0=9x^2-3x^2-5x+1, \]

\[ 6x^2-5x+1=0. \]

Разложим квадратный трёхчлен:

\[ 6x^2-5x+1=(3x-1)(2x-1). \]

Значит,

\[ (3x-1)(2x-1)=0. \]

Рассмотрим два случая:

\[ 3x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac13; \]

\[ 2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac12. \]

Оба значения неотрицательны.

Проверка \(x=\frac13\):

\[ \sqrt{3\cdot\frac19+5\cdot\frac13-1} = \sqrt{\frac13+\frac53-1} = \sqrt1=1, \]

\[ 3\cdot\frac13=1. \]

Проверка \(x=\frac12\):

\[ \sqrt{3\cdot\frac14+5\cdot\frac12-1} = \sqrt{\frac34+\frac52-1} = \sqrt{\frac94} =\frac32, \]

\[ 3\cdot\frac12=\frac32. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\frac13;\ \frac12}. \]

---

5) \(\sqrt[3]{x^2-17}=2\)

Здесь стоит кубический корень. Кубический корень можно возводить в третью степень без дополнительных ограничений:

\[ \left(\sqrt[3]{x^2-17}\right)^3=2^3. \]

Получаем:

\[ x^2-17=8. \]

Прибавим \(17\):

\[ x^2=25. \]

Если квадрат числа равен \(25\), то число может быть положительным или отрицательным:

\[ x=5 \quad\text{или}\quad x=-5. \]

Проверка:

\[ \sqrt[3]{5^2-17} =\sqrt[3]{25-17} =\sqrt[3]8=2; \]

\[ \sqrt[3]{(-5)^2-17} =\sqrt[3]{25-17} =\sqrt[3]8=2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=-5;\ 5}. \]

---

6) \(\sqrt[4]{x^2+17}=3\)

Возведём обе части в четвёртую степень:

\[ \left(\sqrt[4]{x^2+17}\right)^4=3^4. \]

Получаем:

\[ x^2+17=81. \]

Вычтем \(17\):

\[ x^2=64. \]

Следовательно,

\[ x=8 \quad\text{или}\quad x=-8. \]

Проверка:

\[ \sqrt[4]{8^2+17} =\sqrt[4]{64+17} =\sqrt[4]{81}=3; \]

\[ \sqrt[4]{(-8)^2+17} =\sqrt[4]{64+17} =\sqrt[4]{81}=3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=-8;\ 8}. \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\ x=-1,\\ 2)&\ x=21,\\ 3)&\ x=\frac12,\\ 4)&\ x=\frac13;\ \frac12,\\ 5)&\ x=-5;\ 5,\\ 6)&\ x=-8;\ 8. \end{aligned}} \]