Реши задание на изображении
Краткий ответ: \[ \boxed{\overrightarrow{MN}=-\frac12\vec a+\frac12\vec b =\frac12(\vec b-\vec a)} \]
Решение.
Так как \(MN\) — средняя линия треугольника, точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BA\) и \(BC\). Поэтому: \[ \overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{BA}=\frac12\vec a, \qquad \overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\vec b. \]
По правилу вычитания векторов: \[ \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}. \]
Подставим: \[ \overrightarrow{MN} =\frac12\vec b-\frac12\vec a =-\frac12\vec a+\frac12\vec b. \]
Проверка: средняя линия параллельна \(AC\) и равна половине \(AC\): \[ \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =-\vec a+\vec b, \] значит, \[ \overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{AC} =\frac12(-\vec a+\vec b). \]
Обсуждение
3 сообщенияОбьясни почему AC=AB+BC
Здесь речь идёт именно о векторах:
\[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}. \]
Почему? Чтобы попасть из точки \(A\) в точку \(C\), можно двигаться поэтапно:
- из \(A\) в \(B\) — это \(\overrightarrow{AB}\);
- из \(B\) в \(C\) — это \(\overrightarrow{BC}\).
Общий путь из \(A\) в \(C\) и есть \(\overrightarrow{AC}\). Это правило сложения векторов по треугольнику.
Важно: для длин отрезков такое равенство обычно неверно: \[ AC\ne AB+BC. \]
В нашей задаче \(\overrightarrow{BA}=\vec a\), поэтому \[ \overrightarrow{AB}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec b. \] Следовательно, \[ \overrightarrow{AC}=-\vec a+\vec b. \]
