№293

Конечно. Решение по шагам:

1)
\[ \log_8\frac{12\cdot20}{15} \]

Сначала вычислим значение под логарифмом:

\[ \frac{12\cdot20}{15}=\frac{240}{15}=16 \]

Получаем:

\[ \log_8 16 \]

Так как \(8=2^3\), а \(16=2^4\), то

\[ \log_8 16=\frac{4}{3} \]

Ответ: \(\frac43\).

2)
\[ \log_9\frac{15\cdot18}{10} \]

\[ \frac{15\cdot18}{10}=\frac{270}{10}=27 \]

\[ \log_9 27 \]

Так как \(9=3^2\), а \(27=3^3\), то

\[ \log_9 27=\frac{3}{2} \]

Ответ: \(\frac32\).

3)
\[ \log_7\frac{\sqrt{36}}{14\cdot21} \]

\[ \sqrt{36}=6,\qquad 14\cdot21=294 \]

\[ \frac{6}{294}=\frac1{49} \]

Получаем:

\[ \log_7\frac1{49} \]

Так как \(\frac1{49}=7^{-2}\), то

\[ \log_7 7^{-2}=-2 \]

Ответ: \(-2\).

4)
\[ \log_{\frac13}\frac{6^2\cdot45}{\sqrt{400}} \]

\[ 6^2=36,\qquad \sqrt{400}=20 \]

\[ \frac{36\cdot45}{20}=\frac{1620}{20}=81 \]

Получаем:

\[ \log_{\frac13}81 \]

Так как

\[ \frac13=3^{-1},\qquad 81=3^4, \]

то

\[ \log_{3^{-1}}3^4=-4 \]

Ответ: \(-4\).

2)
\[ \log_9\frac{15\cdot18}{10} \]

Обозначим значение логарифма через \(x\):

\[ x=\log_9\frac{15\cdot18}{10} \]

Сначала вычислим выражение под логарифмом:

\[ 15\cdot18=270, \]

\[ \frac{270}{10}=27. \]

Значит,

\[ x=\log_9 27. \]

По определению логарифма:

\[ 9^x=27. \]

Представим \(9\) и \(27\) как степени числа \(3\):

\[ 9=3^2,\qquad 27=3^3. \]

Тогда:

\[ (3^2)^x=3^3, \]

\[ 3^{2x}=3^3. \]

Основания одинаковые, значит:

\[ 2x=3, \]

\[ x=\frac32. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac32} \]

Да, можно использовать формулы сложения и вычитания логарифмов:

\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y, \qquad \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y. \]

Для пункта 2:

\[ \log_9\frac{15\cdot18}{10} =\log_9 15+\log_9 18-\log_9 10. \]

Разложим числа на множители:

\[ 15=3\cdot5,\qquad 18=2\cdot3^2,\qquad 10=2\cdot5. \]

Тогда:

\[ \begin{aligned} \log_9\frac{15\cdot18}{10} &=(\log_9 3+\log_9 5) +(\log_9 2+2\log_9 3)\\ &\quad-(\log_9 2+\log_9 5). \end{aligned} \]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[ \log_9 2-\log_9 2=0,\qquad \log_9 5-\log_9 5=0. \]

Остаётся:

\[ 3\log_9 3. \]

Так как \(9=3^2\), то

\[ \log_9 3=\frac12. \]

Следовательно,

\[ 3\cdot\frac12=\boxed{\frac32}. \]

4) Решим подробно с помощью формул сложения логарифмов.

Дано:

\[ \log_{\frac13}\frac{6^2\cdot45}{\sqrt{400}} \]

Используем формулы:

\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y, \]

\[ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \]

\[ \log_a x^n=n\log_a x. \]

Сначала заметим, что:

\[ \sqrt{400}=20. \]

Тогда:

\[ \log_{\frac13}\frac{6^2\cdot45}{20} = 2\log_{\frac13}6+\log_{\frac13}45-\log_{\frac13}20. \]

Разложим числа на множители:

\[ 6=2\cdot3,\qquad 45=5\cdot3^2,\qquad 20=2^2\cdot5. \]

Подставим:

\[ \begin{aligned} &2\left(\log_{\frac13}2+\log_{\frac13}3\right) +\left(\log_{\frac13}5+2\log_{\frac13}3\right)\\ &\qquad-\left(2\log_{\frac13}2+\log_{\frac13}5\right). \end{aligned} \]

Раскроем скобки:

\[ \begin{aligned} &2\log_{\frac13}2+2\log_{\frac13}3+\log_{\frac13}5 +2\log_{\frac13}3\\ &\qquad-2\log_{\frac13}2-\log_{\frac13}5. \end{aligned} \]

Одинаковые слагаемые уничтожаются:

\[ 2\log_{\frac13}2-2\log_{\frac13}2=0, \]

\[ \log_{\frac13}5-\log_{\frac13}5=0. \]

Остаётся:

\[ 4\log_{\frac13}3. \]

Так как

\[ \left(\frac13\right)^{-1}=3, \]

то

\[ \log_{\frac13}3=-1. \]

Следовательно:

\[ 4\log_{\frac13}3=4\cdot(-1)=\boxed{-4}. \]

Да, решим по основной формуле логарифма:

\[ \log_a b=x \Longleftrightarrow a^x=b. \]

Дано:

\[ \log_{\frac13}\frac{6^2\cdot45}{\sqrt{400}}. \]

Сначала упростим выражение:

\[ 6^2=36,\qquad \sqrt{400}=20, \]

\[ \frac{36\cdot45}{20}=\frac{1620}{20}=81. \]

Получаем:

\[ \log_{\frac13}81. \]

Пусть

\[ x=\log_{\frac13}81. \]

По формуле логарифма:

\[ \left(\frac13\right)^x=81. \]

Представим числа как степени числа \(3\):

\[ 3^{-x}=3^4. \]

Значит,

\[ -x=4, \]

\[ x=-4. \]

Ответ:

\[ \boxed{-4} \]

Ничего страшного, разберём совсем просто.

Нужно найти:

\[ \log_{\frac13}\frac{6^2\cdot45}{\sqrt{400}} \]

1. Сначала считаем выражение внутри логарифма

\[ 6^2=36,\qquad \sqrt{400}=20 \]

\[ \frac{6^2\cdot45}{\sqrt{400}} = \frac{36\cdot45}{20} = 81 \]

Значит, осталось найти:

\[ \log_{\frac13}81 \]

2. Что означает логарифм?

Логарифм спрашивает:

В какую степень нужно возвести \(\frac13\), чтобы получить \(81\)?

Проверяем:

\[ \left(\frac13\right)^{-4} = 3^4 = 81 \]

Значит, нужная степень — \(-4\).

\[ \boxed{\log_{\frac13}81=-4} \]

Ответ: \(\boxed{-4}\).