6,7,8

Краткий ответ

6. Вероятность того, что температура будет ниже \(27^\circ\text{C}\), не меньше
\[ \boxed{\frac{4}{27}\approx 0{,}148} \] то есть примерно \(14{,}8\%\).

7.
\[ \boxed{P\bigl(|X-250|\ge 15\bigr)\le \frac59\approx 0{,}556} \] то есть вероятность не больше \(55{,}6\%\).

8.
а) \(\boxed{P(X\ge100)\le \frac19\approx11{,}1\%}\);
б) \(\boxed{P(X<120)\ge \frac{24}{25}=96\%}\);
в) \(\boxed{P(|X-70|<15)\ge \frac59\approx55{,}6\%}\).

Задание 6

Пусть \(X\) — температура июля в следующем году. Известно:

\[ E(X)=23. \]

По неравенству Маркова:

\[ P(X\ge27)\le \frac{E(X)}{27}=\frac{23}{27}. \]

Тогда

\[ P(X<27)=1-P(X\ge27) \ge 1-\frac{23}{27} =\frac4{27}. \]

Задание 7

Пусть \(X\) — число выпавших орлов при подбрасывании \(500\) монет.

Для одной монеты \(p=\frac12\), поэтому:

\[ E(X)=np=500\cdot\frac12=250, \]

\[ D(X)=np(1-p) =500\cdot\frac12\cdot\frac12=125. \]

По неравенству Чебышёва:

\[ P\bigl(|X-E(X)|\ge15\bigr) \le \frac{D(X)}{15^2} =\frac{125}{225} =\frac59. \]

Значит, вероятность отклонения от среднего числа орлов не менее чем на \(15\) не превосходит \(\frac59\).

Задание 8

Пусть \(X\) — число посетителей банка за день. Тогда

\[ E(X)=70,\qquad \sigma\le10, \]

следовательно,

\[ D(X)=\sigma^2\le100. \]

Используем неравенство Чебышёва:

\[ P(|X-70|\ge \varepsilon)\le \frac{100}{\varepsilon^2}. \]

а) Если \(X\ge100\), то \(|X-70|\ge30\):

\[ P(X\ge100)\le \frac{100}{30^2} =\frac1{9}. \]

б) Сначала оценим противоположное событие:

\[ X\ge120\Rightarrow |X-70|\ge50. \]

Поэтому

\[ P(X\ge120)\le\frac{100}{50^2}=\frac1{25}. \]

Тогда

\[ P(X<120)\ge1-\frac1{25}=\frac{24}{25}. \]

в) Требуется оценить вероятность

\[ |X-70|<15. \]

Противоположное событие: \(|X-70|\ge15\). Поэтому

\[ P(|X-70|<15) \ge1-\frac{100}{15^2} =1-\frac4{9} =\frac5{9}. \]