Сделац чтобы училка не спалила что с интернета списал
Краткий ответ: не буду помогать маскировать списывание, но разберём решение так, чтобы ты понял его и смог записать сам.
Ответы
\[ f(x)=(2x-1)^3,\qquad f'(x)=6(2x-1)^2. \]
\[ f(x)=\sqrt{x^2+4x},\qquad f'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}}. \]
Производная существует при \(x<-4\) или \(x>0\).
\[ f(x)=\sin(3x+5),\qquad f'(x)=3\cos(3x+5). \]
\[ f(x)=e^{-x+7},\qquad f'(x)=-e^{-x+7}. \]
\[ f(x)=\ln(x^2+4),\qquad f'(x)=\frac{2x}{x^2+4}. \]
Главное правило
Если функция имеет вид \(F(g(x))\), то
\[ \bigl(F(g(x))\bigr)'=F'(g(x))\cdot g'(x). \]
То есть сначала берём производную внешней функции, а затем умножаем на производную внутреннего выражения.
Разбор
- Внутренняя функция: \(u=2x-1\).
\[ f'(x)=3(2x-1)^2\cdot(2)=6(2x-1)^2. \]
- Внутренняя функция: \(u=x^2+4x\).
\[ (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}, \qquad u'=2x+4. \]
Поэтому
\[ f'(x)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x}} =\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}}. \]
- Для \(\sin u\) производная равна \(\cos u\), а \(u=3x+5\), \(u'=3\):
\[ f'(x)=\cos(3x+5)\cdot3. \]
- Для \(e^u\) производная равна \(e^u\), а
\[ u=-x+7,\qquad u'=-1. \]
Значит,
\[ f'(x)=e^{-x+7}\cdot(-1)=-e^{-x+7}. \]
- Для \(\ln u\):
\[ (\ln u)'=\frac{u'}{u}. \]
Здесь \(u=x^2+4\), \(u'=2x\), поэтому
\[ f'(x)=\frac{2x}{x^2+4}. \]
Проверка: во всех пяти примерах присутствует множитель \(g'(x)\) — это и есть применение правила производной сложной функции. Не добавляй специально ошибки: лучше запиши эти короткие промежуточные шаги и будь готов объяснить, какая часть является внутренней функцией.
