Вариант 2

Краткий ответ

1. Представьте в виде дроби:

а) \(\displaystyle \frac{2ax}{3}\);

б) \(\displaystyle \frac{b}{2a}\);

в) \(\displaystyle \frac{5(x+1)}{x-2}\);

г) \(\displaystyle \frac{c}{y}\).

2. Допустимые значения:

а) \(m\in\mathbb R\);

б) \(m\ne -3,\;m\ne3\).

3. Значение выражения равно \(\boxed{0}\).

4. \(\displaystyle b\ne\frac12,\quad b\ne\frac32\).

---

Ключевые шаги

1. Представление в виде дроби

а)

\[ \frac{2a}{51x^6y}\cdot17x^7y =\frac{34ax^7y}{51x^6y} =\frac{2ax}{3}. \]

Сокращаем \(17\), \(x^6\) и \(y\).

б) Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{24b^2c}{3a^6}:\frac{16bc}{a^5} = \frac{24b^2c}{3a^6}\cdot\frac{a^5}{16bc} =\frac{b}{2a}. \]

в) Раскладываем многочлены на множители:

\[ 5x+10=5(x+2),\qquad x^2-1=(x-1)(x+1), \]

\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]

Тогда

\[ \frac{5(x+2)}{x-1}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5(x+1)}{x-2}. \]

При этом в исходном выражении \(x\ne1,\;x\ne\pm2\).

г) Сначала вычитаем дроби в скобках:

\[ \frac{c}{y}-\frac{c}{y+c} = \frac{c(y+c)-cy}{y(y+c)} = \frac{c^2}{y(y+c)}. \]

Поэтому

\[ \frac{y+c}{c}\cdot\frac{c^2}{y(y+c)} =\frac{c}{y}. \]

---

2. Допустимые значения переменной

Переменная не должна обращать знаменатель в ноль.

а)

\[ \frac{m-5m^2}{5} \]

Знаменатель равен \(5\), поэтому ограничений на \(m\) нет:

\[ m\in\mathbb R. \]

б)

\[ 9-m^2\ne0, \]

\[ m^2\ne9\quad\Rightarrow\quad m\ne-3,\;m\ne3. \]

---

3. Доказательство

\[ \frac{x}{x+2} -\frac{(x-2)^2}{2} \left( \frac1{x^2-4}+\frac1{x^2-4x+4} \right). \]

Разложим знаменатели:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2. \]

Тогда

\[ \frac1{(x-2)(x+2)}+\frac1{(x-2)^2} = \frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)} = \frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}. \]

Подставляем:

\[ \frac{x}{x+2} -\frac{(x-2)^2}{2}\cdot \frac{2x}{(x-2)^2(x+2)} = \frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0. \]

Следовательно, значение не зависит от \(x\) и равно \(\boxed{0}\).

---

4. Область определения

\[ \frac{5b}{2-\frac4{3-2b}}. \]

Сначала внутренний знаменатель:

\[ 3-2b\ne0 \quad\Rightarrow\quad b\ne\frac32. \]

Затем знаменатель всей дроби:

\[ 2-\frac4{3-2b}\ne0. \]

Решаем уравнение, при котором он равен нулю:

\[ 2=\frac4{3-2b}, \]

\[ 2(3-2b)=4, \]

\[ 6-4b=4 \quad\Rightarrow\quad b=\frac12. \]

Итак,

\[ \boxed{b\ne\frac12,\qquad b\ne\frac32}. \]