Реши задание на изображении
Краткий ответ
Обозначения: ↑ — функция возрастает, ↓ — убывает.
В таблице указаны стандартные открытые промежутки между критическими точками.
| № | ↑ Возрастает | ↓ Убывает |
|---|---|---|
| 1 | \((-\infty;+\infty)\) | нет |
| 2 | нет | \((-\infty;+\infty)\) |
| 3 | \(\left(\frac54;+\infty\right)\) | \(\left(-\infty;\frac54\right)\) |
| 4 | \((-\infty;0)\), \(\left(\frac13;+\infty\right)\) | \(\left(0;\frac13\right)\) |
| 5 | \((0;2)\) | \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) |
| 6 | \((-\infty;-\sqrt2)\), \((\sqrt2;+\infty)\) | \((-\sqrt2;\sqrt2)\) |
| 7 | \((-3;0)\), \((3;+\infty)\) | \((-\infty;-3)\), \((0;3)\) |
| 8 | \((-1;+\infty)\) | \((-\infty;-1)\) |
| 9 | \((-\infty;-4)\), \((2;+\infty)\) | \((-4;2)\) |
| 10 | нет | \((-\infty;3)\), \((3;+\infty)\) |
| 11 | нет | \((-\infty;2)\), \((2;+\infty)\) |
| 12 | \([2;+\infty)\) | нет |
| 13 | нет | \([-4;+\infty)\) |
| 14 | \((-\infty;0)\), \((6;+\infty)\) | \((0;6)\) |
| 15 | \(\left(\frac95;+\infty\right)\) | \(\left(-\infty;\frac95\right)\) |
| 16 | нет | \((-\infty;+\infty)\) |
| 17 | \((\pi+2\pi k;2\pi+2\pi k)\) | \((2\pi k;\pi+2\pi k)\), \(k\in\mathbb Z\) |
18. Функция возрастает на \((2;+\infty)\), убывает на \((-\infty;0)\) и \((0;2)\).
19. Функция возрастает на всей числовой прямой при
\[
\boxed{a\ge 0}.
\]
Ключевой принцип
Используем производную:
- если \(f'(x)>0\), функция возрастает;
- если \(f'(x)<0\), функция убывает.
Нужно найти область определения, нули производной и расставить знаки.
Производные для заданий 1–17:
\[ \begin{aligned} &1)\ y'=3; \qquad 2)\ y'=-\frac12;\\ &3)\ y'=4x-5;\\ &4)\ y'=3x^2-x=x(3x-1);\\ &5)\ y'=-3x^2+6x=-3x(x-2);\\ &6)\ y'=3(x^2-2);\\ &7)\ y'=4x(x-3)(x+3);\\ &8)\ y'=4(x+1)(x^2-x+1);\\ &9)\ y'=3(x+4)(x-2);\\ &10)\ y'=-\frac1{(x-3)^2};\\ &11)\ y'=-\frac1{(x-2)^2};\\ &12)\ y'=\frac1{2\sqrt{x-2}}>0;\\ &13)\ y'=-\frac1{2\sqrt{x+4}}<0;\\ &14)\ y'=\frac{x-6}{x^3};\\ &15)\ y'=e^{5x}(5x-9);\\ &16)\ y'=\cos x-2\le -1<0;\\ &17)\ y'=-\sin x. \end{aligned} \]
Например, в №4: \[ y'=x(3x-1). \] Критические точки: \(x=0\) и \(x=\frac13\). Знаки производной:
\[ +\quad|\quad-\quad|\quad+ \] \[ (-\infty;0)\quad (0;\tfrac13)\quad(\tfrac13;+\infty). \]
Отсюда функция возрастает на первых и третьих промежутках, а убывает на среднем.
Доказательство №18
Область определения: \[ x\ne0. \]
\[ f'(x)=2x-\frac{16}{x^2} =\frac{2x^3-16}{x^2} =\frac{2(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2}. \]
Так как \[ x^2+2x+4=(x+1)^2+3>0,\qquad x^2>0, \] знак производной определяется только множителем \(x-2\):
- при \(x<2\), \(x\ne0\): \(f'(x)<0\);
- при \(x>2\): \(f'(x)>0\).
Следовательно, \[ f(x)\text{ убывает на }(-\infty;0)\text{ и }(0;2), \] \[ f(x)\text{ возрастает на }(2;+\infty). \]
Решение №19
\[ y'=3x^2+3a=3(x^2+a). \]
Если \(a\ge0\), то производная неотрицательна при всех \(x\). При \(a=0\) функция \(y=x^3\) всё равно строго возрастает.
Если \(a<0\), то \[ y'(0)=3a<0, \] поэтому функция не может возрастать на всей числовой прямой.
Значит, \[ \boxed{a\in[0;+\infty)}. \]
Проверка области определения: в №10 и №11 нельзя объединять промежутки через точки \(x=3\) и \(x=2\), а в №12 и №13 учтены ограничения корня.
