На фото тема «Проценты». Чтобы уверенно решать задания, запомни главную мысль:

1. Что такое процент

Процент — это одна сотая часть числа.

\[ 1\%=\frac1{100}=0{,}01 \]

Всё число — это 100%.

Полезно помнить:

\[ 50\%=\frac12,\qquad 25\%=\frac14,\qquad 10\%=\frac1{10} \]

Например, \(25\%\) от числа — это его четвёртая часть.

---

2. Как переводить проценты в число и наоборот

Проценты переводим в число

Нужно разделить на \(100\):

\[ 56\%=56:100=0{,}56 \]

\[ 125\%=125:100=1{,}25 \]

Число переводим в проценты

Нужно умножить на \(100\%\):

\[ 0{,}843\cdot100\%=84{,}3\% \]

\[ 1{,}75\cdot100\%=175\% \]

Запомни:

• число \(\rightarrow\) проценты: умножить на \(100\);
• проценты \(\rightarrow\) число: разделить на \(100\).

---

Три главных вида задач

Вид 1. Найти процент от числа

Пример: найти \(15\%\) от \(240\).

Процент переводим в число:

\[ 15\%=0{,}15 \]

Умножаем:

\[ 240\cdot0{,}15=36 \]

Ответ: \(36\).

Можно записать короче:

\[ 240\cdot\frac{15}{100}=36 \]

Правило

Чтобы найти \(p\%\) от числа \(a\), нужно:

\[ a\cdot\frac{p}{100} \]

---

Вид 2. Найти число по его проценту

Пример: \(20\%\) некоторого числа равны \(30\). Найти всё число.

Сначала найдём \(1\%\):

\[ 30:20=1{,}5 \]

Теперь найдём \(100\%\):

\[ 1{,}5\cdot100=150 \]

Ответ: \(150\).

Или сразу:

\[ 30:0{,}2=150 \]

Правило

Если известно, сколько составляет \(p\%\), то всё число находят так:

\[ \text{известная часть}:\frac{p}{100} \]

---

Вид 3. Узнать, сколько процентов одно число составляет от другого

Пример: сколько процентов составляет \(18\) от \(60\)?

Сначала делим часть на целое:

\[ 18:60=0{,}3 \]

Переводим в проценты:

\[ 0{,}3\cdot100\%=30\% \]

Ответ: \(30\%\).

Правило

\[ \frac{\text{часть}}{\text{целое}}\cdot100\% \]

---

Увеличение и уменьшение на проценты

Увеличить число на \(20\%\)

К числу прибавляется \(20\%\), поэтому остаётся:

\[ 100\%+20\%=120\%=1{,}2 \]

Значит, число умножаем на \(1{,}2\).

Например:

\[ 500\cdot1{,}2=600 \]

Уменьшить число на \(20\%\)

Остаётся:

\[ 100\%-20\%=80\%=0{,}8 \]

Например:

\[ 500\cdot0{,}8=400 \]

---

Как понять, какое действие выбрать

Вопрос задачи	Действие
Найти \(15\%\) от числа	умножить число на \(\frac{15}{100}\)
\(15\%\) числа равны 30. Найти число	\(30:\frac{15}{100}\)
Сколько процентов составляет 30 от 150?	\(30:150\cdot100\%\)
Увеличить на \(15\%\)	умножить на \(1{,}15\)
Уменьшить на \(15\%\)	умножить на \(0{,}85\)

Главное, что нужно выучить

\[ \boxed{1\%=0{,}01} \]

\[ \boxed{\text{Найти процент от числа: }a\cdot\frac{p}{100}} \]

\[ \boxed{\text{Найти число по проценту: }\text{часть}:\frac{p}{100}} \]

\[ \boxed{\text{Найти, сколько процентов: }\frac{\text{часть}}{\text{целое}}\cdot100\%} \]

Например, проверь себя:

1. \(20\%\) от \(300\) — это \(60\).
2. \(25\%\) числа равны \(40\), значит число \(160\).
3. \(15\) от \(60\) — это \(25\%\).

Если эти три типа понятны, большую часть заданий на проценты ты уже сможешь решать правильно.

Да, проценты можно делить. Процент — это число, только записанное со знаком \(\%\).

Сначала можно заменить процент дробью:

\[ 20\%=\frac{20}{100}=0{,}2 \]

1. Процент делим на обычное число

\[ 40\%:2=20\% \]

Знак процента остаётся.

2. Процент делим на процент

\[ 40\%:10\%=\frac{0{,}4}{0{,}1}=4 \]

Знаки процентов сокращаются, поэтому ответ — просто число \(4\).

3. Число делим на процент

\[ 80:20\%=80:0{,}2=400 \]

Так часто находят всё число, если известно, сколько составляет его процент.

Главное правило: процент при делении переводим в десятичную дробь:

\[ p\%=\frac{p}{100} \]

Например:

\[ 60:15\%=60:0{,}15=400. \]

Тема: круговые диаграммы

Круговая диаграмма показывает, как целое распределяется на части.

Главное правило:

\[ \boxed{\text{весь круг}=100\%=360^\circ} \]

Чем больше часть величины, тем больше её сектор на диаграмме.

---

1. Как найти угол сектора

Если известно значение части и общее значение, используем формулу:

\[ \boxed{\alpha=\frac{\text{значение части}}{\text{общее значение}}\cdot360^\circ} \]

где \(\alpha\) — угол сектора.

Пример

Пусть всего \(50\) учеников, из них \(20\) занимаются спортом. Какой угол будет у сектора?

\[ \alpha=\frac{20}{50}\cdot360^\circ \]

\[ \alpha=0{,}4\cdot360^\circ=144^\circ \]

Значит, сектор для занимающихся спортом должен иметь угол \(144^\circ\).

---

2. Если даны проценты

Можно использовать другую формулу:

\[ \boxed{\alpha=\frac{p}{100}\cdot360^\circ} \]

Например, \(25\%\) круга:

\[ \alpha=\frac{25}{100}\cdot360^\circ=90^\circ \]

Полезно запомнить:

\[ 1\%=3{,}6^\circ \]

Поэтому угол можно найти так:

\[ \alpha=p\cdot3{,}6^\circ \]

---

Пример из учебника

Площади материков:

• Евразия — \(55\) млн км²;
• Африка — \(30\) млн км²;
• Северная Америка — \(24\) млн км²;
• Южная Америка — \(18\) млн км²;
• Австралия — \(9\) млн км²;
• Антарктида — \(14\) млн км².

Шаг 1. Находим общую площадь

\[ 55+30+24+18+9+14=150\text{ млн км}^2 \]

Шаг 2. Узнаём, сколько градусов приходится на \(1\) млн км²

Весь круг — \(360^\circ\), значит:

\[ 360^\circ:150=2{,}4^\circ \]

То есть \(1\) млн км² соответствует \(2{,}4^\circ\).

Шаг 3. Находим углы секторов

Материк	Вычисление	Угол
Евразия	\(55\cdot2{,}4\)	\(132^\circ\)
Африка	\(30\cdot2{,}4\)	\(72^\circ\)
Северная Америка	\(24\cdot2{,}4\)	\(57{,}6^\circ\)
Южная Америка	\(18\cdot2{,}4\)	\(43{,}2^\circ\)
Австралия	\(9\cdot2{,}4\)	\(21{,}6^\circ\)
Антарктида	\(14\cdot2{,}4\)	\(33{,}6^\circ\)

Для построения диаграммы углы можно округлить до целых градусов:

\[ 132^\circ,\ 72^\circ,\ 58^\circ,\ 43^\circ,\ 22^\circ,\ 34^\circ \]

---

Как построить круговую диаграмму

1. Нарисовать круг.
2. Провести радиус.
3. С помощью транспортира отложить первый угол.
4. От следующего радиуса отложить следующий угол.
5. Так построить все секторы.
6. Подписать или раскрасить части.

Проверка:

\[ 132+72+57{,}6+43{,}2+21{,}6+33{,}6=360^\circ \]

Значит, все данные заняли полный круг.

---

Обратные задачи

Найти значение по углу

\[ \boxed{\text{значение}=\text{общее значение}\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}} \]

Например, сектор имеет угол \(72^\circ\), а всего \(150\) млн км²:

\[ 150\cdot\frac{72}{360}=30\text{ млн км}^2 \]

Найти процент по углу

\[ \boxed{p=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot100\%} \]

Например:

\[ \frac{72}{360}\cdot100\%=20\% \]

---

Главное для запоминания

\[ \boxed{100\%=360^\circ} \]

\[ \boxed{\alpha=\frac{\text{часть}}{\text{целое}}\cdot360^\circ} \]

\[ \boxed{\text{часть}=\text{целое}\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}} \]

Сначала всегда находи общее количество, а затем вычисляй, какую долю и какой угол занимает каждая часть.

Тема на фото — круговые диаграммы. Давай разберём её простым способом.

1. Главная идея

Круговая диаграмма показывает, из каких частей состоит целое.

• весь круг — это \(100\%\);
• весь круг имеет \(360^\circ\);
• каждая часть изображается сектором;
• чем больше число, тем больше сектор.

Главное соответствие:

\[ 100\%\longleftrightarrow360^\circ \]

Отсюда:

\[ 1\%=3{,}6^\circ \]

потому что

\[ 360^\circ:100=3{,}6^\circ. \]

---

2. Как перевести проценты в градусы

Чтобы построить сектор по процентам, нужно процент умножить на \(3{,}6^\circ\):

\[ \text{угол сектора}=p\cdot3{,}6^\circ, \]

где \(p\) — количество процентов.

Пример

Суша занимает \(30\%\) поверхности Земли.

\[ 30\cdot3{,}6^\circ=108^\circ. \]

Значит, сектор суши должен иметь угол \(108^\circ\).

Вода занимает:

\[ 100\%-30\%=70\%. \]

Угол сектора воды:

\[ 70\cdot3{,}6^\circ=252^\circ. \]

Проверка:

\[ 108^\circ+252^\circ=360^\circ. \]

---

3. Как построить круговую диаграмму

1. Нарисовать круг.
2. Провести радиус из центра.
3. С помощью транспортира отложить нужный угол.
4. Провести второй радиус.
5. Получившийся сектор закрасить.
6. Подписать сектор или составить легенду.

Если частей несколько, каждый следующий сектор откладывают от предыдущего радиуса.

---

Если даны не проценты, а числа

Например, нужно построить диаграмму площадей материков:

• Евразия — \(55\) млн км²;
• Африка — \(30\) млн км²;
• Северная Америка — \(24\) млн км²;
• Южная Америка — \(18\) млн км²;
• Австралия — \(9\) млн км²;
• Антарктида — \(14\) млн км².

Шаг 1. Найдём общее количество

\[ 55+30+24+18+9+14=150\text{ млн км}^2. \]

Шаг 2. Найдём, сколько градусов приходится на \(1\) млн км²

Весь круг — \(360^\circ\), поэтому:

\[ 360^\circ:150=2{,}4^\circ. \]

Значит, \(1\) млн км² изображается углом \(2{,}4^\circ\).

Шаг 3. Найдём углы секторов

Материк	Вычисление	Угол
Евразия	\(55\cdot2{,}4\)	\(132^\circ\)
Африка	\(30\cdot2{,}4\)	\(72^\circ\)
Северная Америка	\(24\cdot2{,}4\)	\(57{,}6^\circ\)
Южная Америка	\(18\cdot2{,}4\)	\(43{,}2^\circ\)
Австралия	\(9\cdot2{,}4\)	\(21{,}6^\circ\)
Антарктида	\(14\cdot2{,}4\)	\(33{,}6^\circ\)

Для построения можно округлить до целых градусов:

\[ 58^\circ,\quad43^\circ,\quad22^\circ,\quad34^\circ. \]

---

Универсальная формула

Если известна часть \(a\) и общее число \(S\), то угол сектора равен:

\[ \boxed{\alpha=\frac{a}{S}\cdot360^\circ} \]

где:

• \(a\) — значение отдельной части;
• \(S\) — сумма всех частей;
• \(\alpha\) — угол сектора.

---

Обратные задачи

Найти процент по углу

Если сектор имеет угол \(72^\circ\), то:

\[ \frac{72}{360}\cdot100\%=20\%. \]

Найти число по углу

Если весь объём равен \(150\), а сектор имеет угол \(72^\circ\), то:

\[ 150\cdot\frac{72}{360}=30. \]

---

Что нужно запомнить

\[ \boxed{100\%=360^\circ} \]

\[ \boxed{1\%=3{,}6^\circ} \]

\[ \boxed{\text{угол}=\frac{\text{часть}}{\text{целое}}\cdot360^\circ} \]

И обязательно проверяй:

\[ \text{сумма всех углов}=360^\circ. \]

Если сумма получилась \(359^\circ\) или \(361^\circ\) из-за округления, это допустимо, но при построении один угол обычно немного корректируют.

На фото тема «Виды треугольников». Треугольники классифицируют по сторонам и по углам.

1. Виды треугольников по сторонам

Сравниваем длины трёх сторон.

Вид	Определение	Пример
Равносторонний	все три стороны равны	\(5\text{ см},5\text{ см},5\text{ см}\)
Равнобедренный	две стороны равны	\(6\text{ см},6\text{ см},4\text{ см}\)
Разносторонний	все стороны имеют разную длину	\(3\text{ см},4\text{ см},5\text{ см}\)

У равнобедренного треугольника равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

Например, если

\[ AB=AC, \]

то треугольник \(ABC\) равнобедренный, а \(BC\) — его основание.

---

2. Виды треугольников по углам

Сравниваем величины углов.

Вид	Определение
Остроугольный	все три угла острые, то есть меньше \(90^\circ\)
Прямоугольный	один угол равен \(90^\circ\)
Тупоугольный	один угол больше \(90^\circ\)

Примеры

Остроугольный:

\[ 60^\circ,\ 70^\circ,\ 50^\circ \]

Прямоугольный:

\[ 90^\circ,\ 40^\circ,\ 50^\circ \]

Тупоугольный:

\[ 110^\circ,\ 40^\circ,\ 30^\circ \]

Сумма углов любого треугольника равна:

\[ 180^\circ. \]

Поэтому в треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов.

---

3. Треугольник можно назвать сразу по двум признакам

Например:

• по сторонам — равнобедренный;
• по углам — прямоугольный.

Тогда полностью говорят: равнобедренный прямоугольный треугольник.

Другие примеры:

• равносторонний остроугольный;
• разносторонний прямоугольный;
• равнобедренный тупоугольный.

Но равносторонний треугольник всегда остроугольный, потому что все его углы равны:

\[ 180^\circ:3=60^\circ. \]

---

4. Как определить вид треугольника

Если даны стороны

1. Сравни длины сторон.
2. Если все равны — треугольник равносторонний.
3. Если равны только две — равнобедренный.
4. Если все разные — разносторонний.

Если даны углы

1. Найди, есть ли угол \(90^\circ\).
2. Если есть — треугольник прямоугольный.
3. Если один угол больше \(90^\circ\) — тупоугольный.
4. Если все углы меньше \(90^\circ\) — остроугольный.

---

5. Обозначения на рисунке

На чертежах:

• одинаковые штрихи на сторонах означают, что стороны равны;
• одинаковые дуги у углов означают, что углы равны;
• маленький квадратик у угла означает прямой угол \(90^\circ\).

Главное, что нужно запомнить

\[ \boxed{\text{По сторонам: равносторонний, равнобедренный, разносторонний}} \]

\[ \boxed{\text{По углам: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный}} \]

Например, если стороны треугольника равны \(7\text{ см},7\text{ см},10\text{ см}\), то он равнобедренный. Если один из его углов равен \(90^\circ\), то он равнобедренный прямоугольный.

На фото не сама задача, а объяснение темы «Множества». Разберём, как решать типичные задания по этой теме.

1. Что такое множество

Множество — это группа предметов или чисел, объединённых по какому-либо признаку.

Например:

\[ A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]

Это множество однозначных чисел.

Предметы или числа внутри множества называются элементами.

---

2. Как записывать множество

Множество записывают в фигурных скобках:

\[ B=\{2,4,6,8\} \]

Порядок элементов не важен:

\[ \{2,4,6\}=\{6,2,4\}. \]

Один и тот же элемент не записывают несколько раз.

---

3. Как определить, принадлежит ли число множеству

Знак

\[ \in \]

означает «принадлежит».

Например, для множества

\[ A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]

верно:

\[ 5\in A. \]

Знак

\[ \notin \]

означает «не принадлежит»:

\[ 14\notin A. \]

Как решать

1. Посмотри на множество.
2. Найди в нём указанное число.
3. Если число есть — ставь \(\in\).
4. Если числа нет — ставь \(\notin\).

Пример

\[ C=\{1,3,5,7,9\}. \]

Тогда:

\[ 3\in C, \]

\[ 4\notin C. \]

---

4. Как составить множество по условию

Нужно выписать все подходящие элементы и заключить их в фигурные скобки.

Пример

Составить множество натуральных чисел между \(1\) и \(6\).

Подходящие числа:

\[ 2,3,4,5. \]

Ответ:

\[ \{2,3,4,5\}. \]

Числа \(1\) и \(6\) не берём, потому что сказано между ними.

Ещё пример

Натуральные числа между \(1\) и \(2\):

\[ \varnothing \]

или

\[ \{\}. \]

Это пустое множество, потому что подходящих натуральных чисел нет.

---

5. Как найти элементы множества

Если дано:

\[ D=\{10,20,30,40\}, \]

то его элементы:

\[ 10,\ 20,\ 30,\ 40. \]

В этом множестве \(4\) элемента.

---

Главное правило решения

Если нужно проверить принадлежность:

\[ \boxed{\text{найди объект среди элементов множества}} \]

Если нужно составить множество:

\[ \boxed{\text{выпиши все подходящие элементы в фигурных скобках}} \]

Пришли номер упражнения или фотографию самой задачи, и я покажу решение именно по ней.

На фото нет условия отдельной задачи — это страница с теорией. Объясню, как решать типичные задания по теме «Множества».

1. Что такое множество

Множество — это группа объектов, объединённых по какому-то признаку.

Например, множество однозначных чисел:

\[ A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. \]

Объекты внутри множества называются элементами.

---

2. Как записывать множество

Множество записывают в фигурных скобках:

\[ B=\{2,4,6,8\}. \]

Это множество чётных чисел от \(1\) до \(9\).

Важно:

• элементы разделяют запятыми;
• одинаковый элемент записывают только один раз;
• порядок элементов не важен.

Например:

\[ \{2,4,6\}=\{6,2,4\}. \]

---

3. Как определить, принадлежит ли число множеству

Если число входит в множество, ставим знак:

\[ \in \]

и читаем «принадлежит».

Например:

\[ 4\in B. \]

Если число не входит в множество, ставим знак:

\[ \notin \]

и читаем «не принадлежит».

Например:

\[ 5\notin B. \]

Для множества

\[ B=\{2,4,6,8\} \]

получаем:

\[ 2\in B,\qquad 7\notin B. \]

---

4. Как решать задачу на составление множества

Пример

Записать множество натуральных чисел, расположенных между \(2\) и \(7\).

Выписываем числа, которые больше \(2\), но меньше \(7\):

\[ 3,4,5,6. \]

Записываем ответ в фигурных скобках:

\[ \boxed{\{3,4,5,6\}}. \]

Другой пример

Записать множество нечётных чисел от \(1\) до \(10\):

\[ \boxed{\{1,3,5,7,9\}}. \]

---

5. Пустое множество

Если подходящих элементов нет, получается пустое множество. Его обозначают:

\[ \varnothing. \]

Например, натуральных чисел между \(1\) и \(2\) нет:

\[ \boxed{\varnothing}. \]

---

6. План решения

Если встретилась задача на множества:

1. Пойми, какие элементы нужно найти.
2. Выпиши все подходящие элементы.
3. Не записывай один элемент дважды.
4. Заключи элементы в фигурные скобки.
5. Если элементов нет, напиши \(\varnothing\).
6. Для проверки принадлежности используй \(\in\) или \(\notin\).

Пример проверки

Пусть

\[ C=\{1,3,5,7\}. \]

Тогда:

\[ 3\in C,\qquad 4\notin C. \]

Пришли, пожалуйста, фото или номер конкретного упражнения, и я покажу решение именно этой задачи по шагам.