Реши задание на изображении

Это продолжение текущей учебной задачи: ты прислал более чёткое фото после моей просьбы уточнить условие.

1. \(\dfrac{9}{x-2}=\dfrac92\)
   \(x-2=2\), поэтому \(x=4\).

2. \(\dfrac{x-4}{x-6}=2\)
   \(x-4=2x-12\), поэтому \(x=8\).

3. \(\dfrac{3}{x-19}=\dfrac{19}{x-3}\)
   \(3(x-3)=19(x-19)\), поэтому \(x=22\).

4. \(x-\dfrac6x=-1\)
   \(x^2+x-6=0\), поэтому \(x=-3\) или \(x=2\).

Ответы:

1. \(4\)
2. \(8\)
3. \(22\)
4. \(-3;2\)

Разберём все уравнения подробно. Сначала укажем ОДЗ — знаменатель не должен быть равен нулю.

1. \(\displaystyle \frac{9}{x-2}=\frac92\)

ОДЗ: \[ x-2\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne2. \]

Умножим обе части на \(2(x-2)\):

\[ 9\cdot2=9(x-2). \]

Раскроем скобки:

\[ 18=9x-18, \] \[ 9x=36, \] \[ x=4. \]

Число \(4\) не нарушает ОДЗ.

Ответ: \(\boxed{4}\).

---

2. \(\displaystyle \frac{x-4}{x-6}=2\)

ОДЗ: \[ x-6\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne6. \]

Умножим обе части на \(x-6\):

\[ x-4=2(x-6). \]

Раскроем скобки:

\[ x-4=2x-12. \]

Перенесём \(x\) в правую часть, а числа — в левую:

\[ -4+12=2x-x, \] \[ 8=x. \]

То есть \(x=8\), и это допустимое значение.

Ответ: \(\boxed{8}\).

---

3. \(\displaystyle \frac{3}{x-19}=\frac{19}{x-3}\)

ОДЗ: \[ x-19\ne0,\qquad x-3\ne0, \] \[ x\ne19,\qquad x\ne3. \]

Перемножим по диагонали:

\[ 3(x-3)=19(x-19). \]

Раскроем скобки:

\[ 3x-9=19x-361. \]

Перенесём слагаемые:

\[ 361-9=19x-3x, \] \[ 352=16x, \] \[ x=22. \]

Число \(22\) не нарушает ОДЗ.

Ответ: \(\boxed{22}\).

---

4. \(\displaystyle x-\frac6x=-1\)

ОДЗ: \[ x\ne0. \]

Умножим всё уравнение на \(x\):

\[ x^2-6=-x. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ x^2+x-6=0. \]

Разложим на множители:

\[ (x+3)(x-2)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3, \] \[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2. \]

Оба корня допустимы. Записываем их в порядке возрастания:

Ответ: \(\boxed{-3;2}\).

Итоговые ответы:

\[ \boxed{1)\ 4;\qquad 2)\ 8;\qquad 3)\ 22;\qquad 4)\ -3;2.} \]

1. \(\displaystyle \frac{9}{x-2}=\frac92\)

ОДЗ: \[ x-2\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne2. \]

Перемножим по диагонали:

\[ 9\cdot2=9(x-2). \]

\[ 18=9x-18, \] \[ 9x=36, \] \[ x=4. \]

Проверка: \(4\ne2\), корень подходит.

Ответ: \(\boxed{4}\).

---

2. \(\displaystyle \frac{x-4}{x-6}=2\)

ОДЗ: \[ x-6\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne6. \]

Умножим обе части на \(x-6\):

\[ x-4=2(x-6). \]

Раскроем скобки:

\[ x-4=2x-12, \] \[ x=8. \]

Проверка: \(8\ne6\), корень подходит.

Ответ: \(\boxed{8}\).

---

3. \(\displaystyle \frac{3}{x-19}=\frac{19}{x-3}\)

ОДЗ: \[ x-19\ne0,\qquad x-3\ne0, \] \[ x\ne19,\qquad x\ne3. \]

Перемножим по диагонали:

\[ 3(x-3)=19(x-19). \]

Раскроем скобки:

\[ 3x-9=19x-361. \]

Перенесём слагаемые:

\[ 361-9=19x-3x, \] \[ 352=16x, \] \[ x=22. \]

Число \(22\) не нарушает ОДЗ.

Ответ: \(\boxed{22}\).

---

4. \(\displaystyle x-\frac6x=-1\)

ОДЗ: \[ x\ne0. \]

Умножим всё уравнение на \(x\):

\[ x^2-6=-x. \]

Перенесём все слагаемые в левую часть:

\[ x^2+x-6=0. \]

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

\[ (x+3)(x-2)=0. \]

Отсюда:

\[ x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3, \]

\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2. \]

Оба корня допустимы.

Ответ: \(\boxed{-3;2}\).

Итог:

\[ \boxed{1)\ 4;\quad 2)\ 8;\quad 3)\ 22;\quad 4)\ -3;2} \]