Трапеция: виды и свойства

1. Определение и элементы

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где

\[ AB\parallel CD. \]

• \(AB\) и \(CD\) — основания;
• \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны;
• \(AC\) и \(BD\) — диагонали;
• \(h\) — высота, расстояние между основаниями;
• \(m\) — средняя линия.

Обозначим длины оснований через \(a\) и \(b\), боковых сторон — через \(c\) и \(d\).

---

2. Виды трапеций

1. Разносторонняя трапеция

Обычная трапеция, у которой боковые стороны не равны и углы при основаниях, как правило, разные.

2. Равнобедренная трапеция

Трапеция, у которой боковые стороны равны:

\[ AD=BC. \]

Её также называют равнобокой.

3. Прямоугольная трапеция

Трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Например:

\[ AD\perp AB. \]

В прямоугольной трапеции два угла прямые.

---

3. Основные свойства любой трапеции

Свойство 1. Сумма углов

Сумма всех углов четырёхугольника равна:

\[ \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ. \]

Свойство 2. Углы при каждой боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\)

Так как основания параллельны, то:

\[ \angle A+\angle D=180^\circ, \]

\[ \angle B+\angle C=180^\circ. \]

То есть углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются односторонними и в сумме дают \(180^\circ\).

Свойство 3. Средняя линия

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Она:

1. параллельна основаниям;
2. равна полусумме оснований.

Формула:

\[ m=\frac{a+b}{2}. \]

Свойство 4. Площадь

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

\[ \boxed{S=\frac{a+b}{2}\cdot h} \]

Так как

\[ m=\frac{a+b}{2}, \]

то площадь также можно найти по формуле:

\[ \boxed{S=mh}. \]

Свойство 5. Периметр

Периметр трапеции равен сумме всех её сторон:

\[ \boxed{P=a+b+c+d}. \]

---

4. Свойства равнобедренной трапеции

Пусть \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AB\parallel CD\), \(AD=BC\).

1. Боковые стороны равны

\[ AD=BC. \]

2. Углы при каждом основании равны

\[ \angle A=\angle B, \]

\[ \angle D=\angle C. \]

3. Диагонали равны

\[ AC=BD. \]

4. Есть ось симметрии

Ось симметрии:

• перпендикулярна основаниям;
• проходит через середины оснований.

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция является равнобедренной, если выполняется хотя бы одно из условий:

• её боковые стороны равны;
• углы при одном основании равны;
• её диагонали равны;
• она имеет ось симметрии.

---

5. Свойства прямоугольной трапеции

Если одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, то:

• два угла равны \(90^\circ\);
• перпендикулярная боковая сторона является высотой:

\[ h=AD; \]

• два остальных угла в сумме дают \(180^\circ\).

Если основания имеют длины \(a\) и \(b\), а наклонная боковая сторона равна \(c\), то по теореме Пифагора:

\[ c^2=h^2+(a-b)^2. \]

---

6. Диагонали трапеции

В обычной трапеции диагонали, как правило, не равны.

В равнобедренной трапеции:

\[ AC=BD. \]

Если диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), то образуются подобные треугольники:

\[ \triangle AOB\sim\triangle COD. \]

Поэтому:

\[ \frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}. \]

---

7. Дополнительное свойство

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции:

• параллелен основаниям;
• равен половине разности оснований:

\[ \boxed{l=\frac{|a-b|}{2}}. \]

---

8. Важные формулы

\[ \boxed{P=a+b+c+d} \]

\[ \boxed{m=\frac{a+b}{2}} \]

\[ \boxed{S=\frac{a+b}{2}\cdot h} \]

\[ \boxed{S=mh} \]

Для равнобедренной трапеции с боковой стороной \(c\):

\[ P=a+b+2c. \]

Если известны боковая сторона \(c\), высота \(h\) и основания \(a,b\), то:

\[ c^2=h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2. \]

---

Как распознать трапецию в задаче

1. Найти параллельные стороны — это основания.
2. Найти расстояние между основаниями — это высота.
3. Если боковые стороны равны, трапеция равнобедренная.
4. Если есть прямой угол, трапеция прямоугольная.
5. Для площади использовать:

\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \]

6. Для углов использовать:

\[ \angle A+\angle D=180^\circ,\qquad \angle B+\angle C=180^\circ. \]

Примечание: в школьной геометрии обычно считают, что у трапеции только одна пара параллельных сторон. В некоторых учебниках допускают определение «хотя бы одна пара параллельных сторон» — тогда параллелограмм рассматривают как частный случай трапеции.

Трапеция простыми словами

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны.

Параллельные стороны называют основаниями.
Две другие стороны называют боковыми сторонами.

Например:

• нижняя и верхняя стороны — основания;
• боковые стороны соединяют основания;
• высота — это расстояние между основаниями, проведённое под прямым углом;
• диагонали соединяют противоположные вершины.

---

Виды трапеций

1. Обычная трапеция

Боковые стороны имеют разную длину и расположены по-разному.

2. Равнобедренная трапеция

У неё боковые стороны равны:

\[ c=d \]

Также у неё:

• равны углы у каждого основания;
• равны диагонали;
• есть ось симметрии.

То есть равнобедренная трапеция выглядит симметрично.

3. Прямоугольная трапеция

У неё один бок перпендикулярен основаниям.

Поэтому два угла у неё прямые:

\[ 90^\circ. \]

Перпендикулярная боковая сторона является высотой.

---

Основные свойства трапеции

1. Углы на одной боковой стороне

Два угла, расположенные рядом с одной боковой стороной, в сумме дают \(180^\circ\):

\[ \alpha+\beta=180^\circ. \]

Например, если один угол равен \(70^\circ\), то соседний угол на этой боковой стороне равен:

\[ 180^\circ-70^\circ=110^\circ. \]

2. Средняя линия

Средняя линия соединяет середины боковых сторон.

Она:

• параллельна основаниям;
• равна половине суммы оснований.

Если основания равны \(a\) и \(b\), то:

\[ m=\frac{a+b}{2}. \]

3. Площадь

Чтобы найти площадь трапеции, нужно:

1. сложить основания;
2. разделить сумму на \(2\);
3. умножить на высоту.

Формула:

\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \]

Здесь:

• \(a\) и \(b\) — основания;
• \(h\) — высота.

4. Периметр

Периметр — это сумма всех сторон:

\[ P=a+b+c+d. \]

---

Главное, что нужно запомнить

• У трапеции есть два параллельных основания.
• Высота проводится между основаниями под прямым углом.
• Площадь:

\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \]

• Средняя линия:

\[ m=\frac{a+b}{2}. \]

• В равнобедренной трапеции боковые стороны и диагонали равны.
• В прямоугольной трапеции есть два угла по \(90^\circ\).