Реши все уравнения

Краткий ответ

1. Линейные уравнения:

• А) \(x=-17\)
• Б) \(x=44\)
• В) \(x=-23\)
• Г) решений нет
• Д) \(x=-2\)

2. Квадратные уравнения:

• А) \(x=\frac12,\;3\)
• Б) \(x=0,\;-\frac53\)
• В) \(x=\pm\frac32\)
• Г) \(x=\frac{3-\sqrt{41}}2,\;\frac{3+\sqrt{41}}2\)
• Д) \(x=\pm2,\;\pm3\)

3. Уравнения с модулем:

• А) \(x=-\frac23,\;4\)
• Б) \(x=-\frac{13}2,\;-\frac52\)
• В) \(x=3\)
• Г) \(x=-\frac32,\;\frac92\)
• Д) решений нет

4. Иррациональные уравнения:

• А) \(x=2\)
• Б) \(x=4\)
• В) \(x=4\)
• Г) \(x=4\)
• Д) решений нет

Решение

1. Линейные уравнения

А)
\[ 4(x-3)-2(3x+5)=12 \] \[ 4x-12-6x-10=12 \] \[ -2x=34,\qquad x=-17. \]

Б) Умножим всё уравнение на \(6\): \[ 2(2x-1)-3(x+4)=30 \] \[ 4x-2-3x-12=30 \] \[ x=44. \]

В) Знаменатели не должны быть равны нулю: \[ x\ne\frac52,\qquad x\ne-\frac13. \] Перемножим по диагонали: \[ 3(3x+1)=4(2x-5) \] \[ 9x+3=8x-20 \] \[ x=-23. \] Это значение допустимо.

Г) \[ 2(3x-4)=6x+5 \] \[ 6x-8=6x+5 \] \[ -8=5. \] Получили неверное равенство, поэтому решений нет.

Д) \[ (x-3)^2-x^2=21 \] \[ x^2-6x+9-x^2=21 \] \[ -6x=12 \] \[ x=-2. \]

2. Квадратные уравнения

А) \[ 2x^2-7x+3=0. \] Дискриминант: \[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=25. \] \[ x=\frac{7\pm5}{4}. \] Следовательно, \[ x=\frac12\quad\text{или}\quad x=3. \]

Б) \[ 3x^2+5x=0 \] \[ x(3x+5)=0. \] Отсюда: \[ x=0\quad\text{или}\quad x=-\frac53. \]

В) \[ 4x^2-9=0 \] \[ (2x-3)(2x+3)=0. \] \[ x=\frac32\quad\text{или}\quad x=-\frac32. \]

Г) \[ (x+3)(x-2)=4(x+1)-2 \] \[ x^2+x-6=4x+2 \] \[ x^2-3x-8=0. \] \[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-8)=41. \] \[ x=\frac{3\pm\sqrt{41}}2. \]

Д) Сделаем замену: \[ t=x^2. \] Тогда: \[ t^2-13t+36=0 \] \[ (t-4)(t-9)=0. \] Значит, \[ x^2=4\quad\text{или}\quad x^2=9. \] Отсюда: \[ x=\pm2,\qquad x=\pm3. \]

3. Уравнения с модулем

Используем правило: \[ |A|=b \Longrightarrow A=b\quad\text{или}\quad A=-b, \] если \(b\ge0\).

А) \[ |3x-5|=7 \] \[ 3x-5=7\quad\text{или}\quad 3x-5=-7. \] \[ x=4\quad\text{или}\quad x=-\frac23. \]

Б) \[ |2x+9|=4 \] \[ 2x+9=4\quad\text{или}\quad 2x+9=-4. \] \[ x=-\frac52\quad\text{или}\quad x=-\frac{13}2. \]

В) \[ |4x-12|=0. \] Модуль равен нулю только тогда, когда выражение внутри равно нулю: \[ 4x-12=0,\qquad x=3. \]

Г) \[ |2x-3|+5=11 \] \[ |2x-3|=6. \] \[ 2x-3=6\quad\text{или}\quad 2x-3=-6. \] \[ x=\frac92\quad\text{или}\quad x=-\frac32. \]

Д) \[ |6x+1|+4=1 \] \[ |6x+1|=-3. \] Модуль не может быть отрицательным, поэтому решений нет.

4. Иррациональные уравнения

При возведении в квадрат обязательно проверяем полученные корни.

А) \[ \sqrt{2x+5}=3 \] \[ 2x+5=9 \] \[ x=2. \]

Проверка: \[ \sqrt{2\cdot2+5}=\sqrt9=3. \]

Б) \[ \sqrt{3x+4}=x. \] Левая часть неотрицательна, значит \(x\ge0\). Возводим в квадрат: \[ 3x+4=x^2 \] \[ x^2-3x-4=0 \] \[ (x-4)(x+1)=0. \] Кандидаты: \(x=4\) и \(x=-1\). Значение \(x=-1\) не подходит, так как правая часть отрицательна. Поэтому: \[ x=4. \]

В) \[ \sqrt{5x-4}-3=1 \] \[ \sqrt{5x-4}=4 \] \[ 5x-4=16 \] \[ x=4. \]

Г) \[ \sqrt{5x-1}=\sqrt{3x+7}. \] Возводим обе части в квадрат: \[ 5x-1=3x+7 \] \[ 2x=8 \] \[ x=4. \]

Проверка: \[ \sqrt{5\cdot4-1}=\sqrt{19},\qquad \sqrt{3\cdot4+7}=\sqrt{19}. \]

Д) \[ \sqrt{4x-3}=-2. \] Квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому решений нет.