Реши
Вычисление производных
Я работаю над задачей на производную, где первая производная имеет вид f' = -x² + x + 2. Я вычислил её при x = -2 и в итоге подтвердил свой ответ: -4. Затем я перешёл к правилу частного, получив сложное выражение, включающее числитель и знаменатель. Наконец, я рассмотрел ещё одну производную с другим уравнением, проверил её при x = 1 и получил в результате 7/2. Это немного похоже на жонглирование математическими выражениями!
Решение неравенств
Мне нужно решить неравенство sin(t) > -√3/2 относительно промежутков. Сначала необходимо записать общее решение для t. Я знаю, что sin(t) = -√3/2 достигается при t = -π/3 + 2πk и 4π/3 + 2πk. Теперь следует определить промежутки, на которых sin(t) больше -√3/2 в пределах соответствующего периода. Этот процесс требует внимательного рассмотрения. Давайте разберём его шаг за шагом!
Оценка качества изображения
Я работаю в режиме «Понять»: мне нужно начать с краткого ответа, а затем разобрать шаги. Я прослежу, чтобы охватить все подпункты и оценить, является ли изображение чётким и не содержит неоднозначностей. Возможно, я также упомяну «Вариант 3»; запрашивать уточнения здесь не требуется. Я должен привести точные вычисления и, если есть осмысленный следующий шаг, добавить [[NEXT]] для его обозначения.
Анализ функций
Я разбираю уравнение cos(x) = 0, которое приводит к общим решениям x = πn и x = 2πn ± arccos(-1/4). Я также проверяю пересечения, но не нахожу их. Кроме того, мне нужно решить неравенства при t = 2x и sin(t) > -√3/2 и проверить промежутки. Похоже, я определил правильные диапазоны и включил проверки для производных. Возможно, некоторые части потребуется уточнить.
Структурирование ответа
Пользователь хочет, чтобы я сначала предоставил ясный ответ, а затем основные шаги и рассуждения. Думаю, будет полезно проверить угловой коэффициент касательной и знаки неравенств, хотя, возможно, нет необходимости подробно проверять каждый из них. Важно включить краткую проверку, например: «Проверка: ...». Я рассматриваю возможность разместить в начале таблицу с кратким изложением ответов, а затем привести выводы. Я хочу убедиться, что всё изложено прямо и понятно!
Краткий ответ
А. Найти \(f'(x_0)\):
- \(\boxed{-4}\)
- \(\boxed{-\dfrac89}\)
- \(\boxed{\dfrac72}\)
- \(\boxed{1}\)
- \(\boxed{3}\)
Б. Решить \(f'(x)=0\):
- \(\boxed{x\in\{-2,-1,1\}}\)
- \(\boxed{x=\pi k}\) или \(\boxed{x=\pm\arccos\left(-\dfrac14\right)+2\pi k}\), \(k\in\mathbb Z\)
В. Решить \(f'(x)>0\):
- \(\boxed{x\in\left(-\infty,-\dfrac38\right)\cup(1,+\infty)}\)
- \(\boxed{x\in\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left(-\dfrac\pi6+\pi k,\dfrac{2\pi}3+\pi k\right)}\)
Г. Уравнение касательной:
\[ \boxed{y=-5x-5} \]
Ключевые шаги
А. Значения производной
- \[ f(x)=3-\frac13x^3+\frac12x^2+2x \]
\[ f'(x)=-x^2+x+2. \]
При \(x_0=-2\):
\[ f'(-2)=-4-2+2=\boxed{-4}. \]
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}. \]
По правилу производной частного:
\[ f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2}. \]
\[ f'(2)=\frac{-8}{9}=\boxed{-\frac89}. \]
\[ f(x)=\frac{x^3}{3}-\sqrt{x}+3\ln x. \]
\[ f'(x)=x^2-\frac1{2\sqrt{x}}+\frac3x. \]
\[ f'(1)=1-\frac12+3=\boxed{\frac72}. \]
\[ f(x)=2x+\cos 2x, \qquad f'(x)=2-2\sin 2x. \]
При \(x_0=\frac\pi{12}\):
\[ f'\left(\frac\pi{12}\right) =2-2\sin\frac\pi6 =2-1=\boxed1. \]
\[ f(x)=(5-3x)\cos x. \]
По правилу произведения:
\[ f'(x)=-3\cos x-(5-3x)\sin x. \]
\[ f'(\pi)=-3\cos\pi-(5-3\pi)\sin\pi=3. \]
Б. Уравнение \(f'(x)=0\)
\[ f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}-\frac12x^2-2x. \]
\[ f'(x)=x^3+2x^2-x-2. \]
Разложим на множители:
\[ x^3+2x^2-x-2 =(x^2-1)(x+2) =(x-1)(x+1)(x+2). \]
Следовательно,
\[ \boxed{x=-2,\,-1,\,1}. \]
\[ f(x)=\cos x-2\sin^2x+1. \]
\[ f'(x)=-\sin x-4\sin x\cos x =-\sin x(1+4\cos x). \]
Произведение равно нулю, если
\[ \sin x=0 \quad\text{или}\quad 1+4\cos x=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x=\pi k} \]
или
\[ \boxed{\cos x=-\frac14 \Rightarrow x=\pm\arccos\left(-\frac14\right)+2\pi k}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
В. Неравенство \(f'(x)>0\)
\[ f(x)=16x^3-15x^2-18x+6. \]
\[ f'(x)=48x^2-30x-18 =6(8x^2-5x-3). \]
Найдём нули:
\[ 8x^2-5x-3=0, \]
\[ x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{16} =\frac{5\pm11}{16}. \]
\[ x_1=-\frac38,\qquad x_2=1. \]
Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому производная положительна вне корней:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty,-\frac38\right)\cup(1,+\infty)}. \]
\[ f(x)=x\sqrt3-\cos2x. \]
\[ f'(x)=\sqrt3+2\sin2x. \]
Решаем:
\[ \sqrt3+2\sin2x>0 \iff \sin2x>-\frac{\sqrt3}{2}. \]
Для \(t=2x\):
\[ t\in\left(-\frac\pi3+2\pi k,\frac{4\pi}3+2\pi k\right). \]
Делим на \(2\):
\[ \boxed{x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z} \left(-\frac\pi6+\pi k,\frac{2\pi}3+\pi k\right)}. \]
Концы интервалов не входят, так как неравенство строгое.
Г. Касательная
\[ f(x)=0{,}5x^2-x+3, \qquad f'(x)=x-1. \]
Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. У данной прямой он равен \(-5\), поэтому:
\[ x-1=-5 \Rightarrow x=-4. \]
Найдём координату точки касания:
\[ f(-4)=0{,}5\cdot16+4+3=15. \]
Точка касания: \((-4;15)\). Уравнение касательной:
\[ y-15=-5(x+4), \]
\[ \boxed{y=-5x-5}. \]
Проверка: угловой коэффициент этой касательной равен \(-5\), значит, она действительно параллельна прямой \(y=-5x+3\).
