Реши задание на изображении

Краткие ответы
Используем \(\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}\).

1. \(8\)
2. \(\dfrac1{6076}\)
3. \(35\)
4. \(\dfrac83\)
5. \(m=2;\ 6\)
6. \(396\)
7. \(61^\circ\)
8. \(1025\)

1

Пусть \(\alpha=n^2+5n\).

Для \(n=1,\ldots,7\): \[ \alpha=6^\circ,14^\circ,24^\circ,36^\circ,50^\circ,66^\circ,84^\circ, \] поэтому \(\sin\alpha>0\) и \(\cos\alpha>0\).

При \(n=8\): \[ \alpha=8^2+5\cdot8=104^\circ, \] \[ \sin104^\circ>0,\qquad \cos104^\circ<0. \] Значит, произведение отрицательно впервые при \[ \boxed{n=8}. \]

2

Введём обратную последовательность: \[ b_n=\frac1{a_n}. \] Тогда \[ b_{n+1}=\frac{1+3a_n}{a_n}=b_n+3,\qquad b_1=1. \] Следовательно, \[ b_n=1+3(n-1)=3n-2, \] то есть \[ a_n=\frac1{3n-2}. \] Поэтому \[ a_{2026}=\frac1{3\cdot2026-2} =\boxed{\frac1{6076}}. \]

3

Расположим числа по возрастанию: \[ x_1<x_2<x_3<x_4<x_5. \] Так как медиана равна \(18\), то \(x_3=18\), а среднее арифметическое даёт: \[ x_1+x_2+18+x_4+x_5=75. \] Минимально возможны: \[ x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_4=19. \] Тогда \[ x_5\le 75-(1+2+18+19)=35. \] Значение достигается набором \[ 1,2,18,19,35. \] Ответ: \[ \boxed{35}. \]

4

Выберем координаты: \[ A(0,0,0),\quad B(4,0,0),\quad D(0,4,0),\quad C(4,4,0), \] \[ S(4,4,2). \] Тогда точка \(P\) на прямой \(AS\) имеет вид \[ P(4t,4t,2t). \]

Середина диагонали \(BD\): \[ O(2,2,0). \] Причём \(PO\perp BD\), поэтому расстояние от \(P\) до \(BD\): \[ PO^2=(4t-2)^2+(4t-2)^2+(2t)^2 =36t^2-32t+8. \] Преобразуем: \[ PO^2=36\left(t-\frac49\right)^2+\frac89. \] Минимум достигается при \(t=\frac49\): \[ PO_{\min}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}. \] Так как \[ BD=4\sqrt2, \] то \[ S_{\triangle BDP} =\frac12\cdot BD\cdot PO_{\min} =\frac12\cdot4\sqrt2\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =\boxed{\frac83}. \]

5

Пусть корни уравнения — \(r\) и \(s\). По теореме Виета: \[ r+s=m+5,\qquad rs=3m. \] Тогда \[ (r-3)(s-3)=rs-3(r+s)+9=-6. \] Для положительных натуральных корней подходят пары: \[ \{r,s\}=\{1,6\},\qquad \{r,s\}=\{2,9\}. \] Отсюда: \[ m=\frac{rs}{3}. \] Получаем: \[ m=2,\qquad m=6. \] Ответ: \[ \boxed{2;\ 6}. \]

6

В каждом столбце нельзя закрасить обе клетки, так как они соседние. Поэтому при закрашивании \(99\) клеток в \(99\) столбцах закрашено по одной клетке, а один столбец пуст.

Если пустой столбец крайний, оставшиеся клетки образуют одну цепочку:
\(2\) варианта чередования. Таких случаев: \[ 2\cdot2=4. \]

Если пустой столбец внутренний, слева и справа две независимые цепочки, по \(2\) варианта для каждой: \[ 2\cdot2=4. \] Внутренних столбцов \(98\), поэтому: \[ 4+98\cdot4=\boxed{396}. \]

7

Пусть первая окружность касается \(AM\) в точке \(T_1\), а вторая — в точке \(T_2\).

Из равенства касательных, проведённых из \(M\): \[ MT_1=MB,\qquad MT_2=MC. \] Так как \(M\) — середина \(BC\), то \(MB=MC\), значит \(T_1=T_2=T\).

По теореме о степени точки \(A\): \[ AB\cdot AP=AT^2, \qquad AC\cdot AQ=AT^2. \] Следовательно, \[ \frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AB}. \] Кроме того, \[ \angle PAQ=\angle BAC=66^\circ. \] Значит, \[ \triangle APQ\sim\triangle ACB. \] Поэтому \[ \angle APQ=\angle ACB. \] Третий угол исходного треугольника: \[ \angle ACB=180^\circ-66^\circ-53^\circ=61^\circ. \] Ответ: \[ \boxed{61^\circ}. \]

8

Так как многочлен приведённый и четвёртой степени, рассмотрим \[ F(x)=P(x)-\bigl((x-1)^3+1\bigr). \] Поскольку \[ 8^n=(2^n)^3, \] условия означают: \[ F(2^n+1)=0,\qquad n=1,2,3,4. \] Корни \(F\): \[ 3,\ 5,\ 9,\ 17. \] Многочлен \(F\) приведённый четвёртой степени, поэтому \[ F(x)=(x-3)(x-5)(x-9)(x-17). \] При \(x=1\): \[ P(1)=1+(-2)(-4)(-8)(-16)=1+1024. \] Следовательно, \[ \boxed{P(1)=1025}. \]