Өтүүчү жана отпочуу электр магнит термелууулор
Суроону «өчүүчү жана өчпөөчү электромагниттик термелүүлөр» деп түшүндүм.
Кыскача жооп
- Өчпөөчү термелүүдө амплитуда жана энергия өзгөрбөйт.
- Өчүүчү термелүүдө каршылыктан улам амплитуда жана энергия убакыт өткөн сайын азаят.
Негизги принцип
LC-контурда конденсатор менен катушка болот:
- Заряддалган конденсатордун электр талаасында энергия топтолот.
- Конденсатор катушка аркылуу разряддалганда ток пайда болот.
- Ток катушкада магнит талаасын түзөт.
- Магнит талаасы кайра конденсаторду карама-каршы заряддайт.
- Бул процесс кайталанып, электромагниттик термелүү пайда болот.
Энергия бирде конденсатордун электр талаасында, бирде катушканын магнит талаасында болот:
\[ W_{\text{эл}}=\frac{q^2}{2C}, \qquad W_{\text{маг}}=\frac{LI^2}{2}. \]
1. Өчпөөчү термелүү
Идеалдуу контурда каршылык жок деп эсептелет:
\[ R=0. \]
Ошондуктан энергия жоголбойт:
\[ W_{\text{жалпы}}=\text{const}. \]
Термелүүнүн амплитудасы туруктуу болот. Анын периоду:
\[ T=2\pi\sqrt{LC}, \]
мында \(L\) — катушканын индуктивдүүлүгү, \(C\) — конденсатордун сыйымдуулугу.
2. Өчүүчү термелүү
Чыныгы контурда каршылык бар:
\[ R>0. \]
Ток өткөндө энергиянын бир бөлүгү Джоуль жылуулугуна айланат. Ошондуктан:
- амплитуда акырындап азаят;
- термелүү энергиясы төмөндөйт;
- бир аз убакыттан кийин термелүү токтойт.
Амплитуданын азайышын шарттуу түрдө мындай жазууга болот:
\[ A(t)=A_0e^{-\beta t}. \]
Салыштыруу
| Белги | Өчпөөчү | Өчүүчү |
|---|---|---|
| Каршылык | \(R=0\) | \(R>0\) |
| Амплитуда | Туруктуу | Азайып барат |
| Энергия | Туруктуу | Жылуулукка кетип азаят |
| Мисал | Идеалдуу LC-контур | Чыныгы электр чынжыры |
Текшерүү: эгер графикте амплитуда өзгөрбөсө — бул өчпөөчү термелүү; эгер амплитуда убакыт өткөн сайын азайса — бул өчүүчү термелүү.
Обсуждение
6 сообщенийLC-контурдагы периодду эсептөөнү көрсөт.
LC-контурдагы термелүүнүн периоду Томсон формуласы менен эсептелет:
\[ T=2\pi\sqrt{LC}, \]
мында:
- \(T\) — период, секунд (\(\text{с}\));
- \(L\) — катушканын индуктивдүүлүгү, генри (\(\text{Гн}\));
- \(C\) — конденсатордун сыйымдуулугу, фарада (\(\text{Ф}\)).
Мисал
Берилсин:
\[ L=0{,}2\ \text{Гн}, \qquad C=5\ \text{мкФ}. \]
Алгач сыйымдуулукту фарадага айландырабыз:
\[ 5\ \text{мкФ}=5\cdot10^{-6}\ \text{Ф}. \]
Формулага коёбуз:
\[ T=2\pi\sqrt{0{,}2\cdot5\cdot10^{-6}}. \]
\[ T=2\pi\sqrt{10^{-6}} =2\pi\cdot10^{-3}. \]
\[ T\approx 6{,}28\cdot10^{-3}\ \text{с}. \]
Демек,
\[ \boxed{T\approx 0{,}00628\ \text{с}=6{,}28\ \text{мс}}. \]
Так эсептөө үчүн \(L\) менен \(C\) нин маанилерин берсең, ошол мисалды чыгарып көрсөтөм.
Мага жаштыктын формуласын анантопсон формуласын далилдеп бер
Сиз термелүүнүн жыштык формуласын жана Томсондун формуласын айтып жатасыз деп түшүндүм.
1. Жыштыктын формуласы
Эгер \(t\) убакыт ичинде \(N\) термелүү болсо, жыштык:
\[ \nu=\frac{N}{t}. \]
Бир термелүүгө кеткен убакыт — период \(T\). Ошондуктан \(N=1\), \(t=T\) болгондо:
\[ \boxed{\nu=\frac{1}{T}}. \]
Мында:
- \(\nu\) — жыштык, Герц (\(\text{Гц}\));
- \(T\) — период, секунд (\(\text{с}\)).
Бурчтук жыштык:
\[ \boxed{\omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T}}. \]
Себеби бир толук термелүүгө фазанын \(2\pi\) ге өзгөрүшү туура келет.
2. Томсондун формуласын чыгаруу
Идеалдуу \(LC\)-контурда:
- \(L\) — катушканын индуктивдүүлүгү;
- \(C\) — конденсатордун сыйымдуулугу;
- \(q\) — конденсатордогу заряд;
- \(i\) — ток күчү.
Ток заряддын убакыт боюнча өзгөрүшүнө барабар:
\[ i=\frac{dq}{dt}. \]
Конденсатордогу чыңалуу:
\[ U_C=\frac{q}{C}. \]
Катушкадагы өздүк индукциянын чыңалуусу:
\[ U_L=L\frac{di}{dt}. \]
Контурда каршылык жок болгондуктан, Кирхгофтун эрежеси боюнча:
\[ U_C+U_L=0. \]
Формулаларды ордуна коёбуз:
\[ \frac{q}{C}+L\frac{di}{dt}=0. \]
Ал эми \(i=\frac{dq}{dt}\), демек:
\[ \frac{q}{C}+L\frac{d^2q}{dt^2}=0. \]
Теңдемени \(L\) ге бөлөбүз:
\[ \frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0. \]
Гармониялык термелүүнүн жалпы теңдемеси:
\[ \frac{d^2q}{dt^2}+\omega^2q=0. \]
Эки теңдемени салыштырабыз:
\[ \omega^2=\frac{1}{LC}. \]
Ошондуктан:
\[ \boxed{\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}}. \]
Эми \(\omega=2\pi\nu\) экенин колдонобуз:
\[ 2\pi\nu=\frac{1}{\sqrt{LC}}. \]
Жыштык:
\[ \boxed{\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}. \]
Ал эми \(T=\frac{1}{\nu}\), демек:
\[ T=2\pi\sqrt{LC}. \]
Ошентип, Томсондун формуласы:
\[ \boxed{T=2\pi\sqrt{LC}}. \]
Жыйынтык:
\[ \boxed{\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}, \qquad \boxed{T=2\pi\sqrt{LC}}. \]
Бул формулалар каршылыгы эске алынбаган идеалдуу \(LC\)-контур үчүн колдонулат.
Мага формуласынОрдуна бирдиктерин коюп далилдеп бер
Томсондун формуласын бирдиктер аркылуу текшерели:
\[ T=2\pi\sqrt{LC}. \]
Бул жерде:
\[ [L]=\text{Гн}, \qquad [C]=\text{Ф}. \]
Генри менен фараддын SI-бирдиктери:
\[ 1\ \text{Гн}=\frac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{А}}, \qquad 1\ \text{Ф}=\frac{\text{А}\cdot\text{с}}{\text{В}}. \]
Эми \(L\) жана \(C\) нин бирдиктерин формулага коёбуз:
\[ [T]=\sqrt{[\text{Гн}]\cdot[\text{Ф}]}. \]
\[ [T]=\sqrt{ \frac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{А}} \cdot \frac{\text{А}\cdot\text{с}}{\text{В}} }. \]
Кыскартабыз:
\[ [T]=\sqrt{\text{с}^2}. \]
Демек:
\[ \boxed{[T]=\text{с}}. \]
\(2\pi\) — бирдиксиз сан, ошондуктан жыйынтык:
\[ \boxed{T=2\pi\sqrt{LC}\ \text{секунд менен өлчөнөт}}. \]
Сандык мисал
\[ L=0{,}2\ \text{Гн}, \qquad C=5\ \text{мкФ}=5\cdot10^{-6}\ \text{Ф}. \]
\[ T=2\pi\sqrt{0{,}2\ \text{Гн}\cdot5\cdot10^{-6}\ \text{Ф}}. \]
\[ T=2\pi\sqrt{10^{-6}\ \text{Гн}\cdot\text{Ф}}. \]
Ал эми:
\[ \text{Гн}\cdot\text{Ф}=\text{с}^2. \]
Ошондуктан:
\[ T=2\pi\sqrt{10^{-6}\ \text{с}^2} =2\pi\cdot10^{-3}\ \text{с}. \]
\[ \boxed{T\approx6{,}28\cdot10^{-3}\ \text{с}=6{,}28\ \text{мс}}. \]
Демек, формуланын бирдиги туура: периоддун бирдиги — секунд.
