Решить

Судя по обозначениям, дана правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\), где \(O\) — центр квадратного основания.

Краткий ответ

• а) \(SC=13\)
• б) \(SC=13\)
• в) \(S_{\text{осн}}=100\), \(S_{\text{полн}}=340\)
• г) \(S_{\text{осн}}=36\), \(S_{\text{полн}}=84\)

Решение

а)

Диагонали квадрата пересекаются пополам, поэтому

\[ OC=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5. \]

В прямоугольном треугольнике \(SOC\):

\[ SC^2=SO^2+OC^2=12^2+5^2=144+25=169, \]

\[ \boxed{SC=13}. \]

б)

\[ OC=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12. \]

Тогда

\[ SC^2=SO^2+OC^2=5^2+12^2=25+144=169, \]

\[ \boxed{SC=13}. \]

в)

Сторона основания:

\[ BC=10. \]

Основание — квадрат:

\[ S_{\text{осн}}=BC^2=10^2=100. \]

Пусть \(M\) — середина \(BC\). Тогда

\[ BM=\frac{BC}{2}=5. \]

Высота боковой грани:

\[ SM=\sqrt{SB^2-BM^2} =\sqrt{13^2-5^2} =\sqrt{169-25}=12. \]

Площадь одной боковой грани:

\[ S_{\text{грани}}=\frac12\cdot 10\cdot 12=60. \]

Всего граней четыре:

\[ S_{\text{бок}}=4\cdot 60=240. \]

\[ S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}} =100+240=340. \]

Ответ:

\[ \boxed{S_{\text{осн}}=100,\quad S_{\text{полн}}=340}. \]

г)

\[ S_{\text{осн}}=BC^2=6^2=36. \]

\[ BM=\frac{6}{2}=3. \]

\[ SM=\sqrt{SB^2-BM^2} =\sqrt{5^2-3^2} =\sqrt{25-9}=4. \]

Площадь одной боковой грани:

\[ \frac12\cdot 6\cdot 4=12. \]

\[ S_{\text{бок}}=4\cdot 12=48. \]

\[ S_{\text{полн}}=36+48=84. \]

Ответ:

\[ \boxed{S_{\text{осн}}=36,\quad S_{\text{полн}}=84}. \]

Проверка: использованы тройки Пифагора \(5,12,13\) и \(3,4,5\).