реши всё

Краткие ответы

По порядку сверху вниз на скриншотах:

1. \(-5\)
2. \(18\)
3. \(\dfrac32\)
4. \(4\)
5. \(\dfrac92\)
6. \(2\)
7. \(6\)
8. \(\dfrac52\)
9. \(\dfrac92\)
10. \(6\)
11. \(\dfrac{21}{25}\)
12. \(3\)

Ключевые шаги

Используем формулы:

\[ \sin 2x=2\sin x\cos x, \]

\[ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x, \]

\[ \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}. \]

1.

\[ \cos\alpha=-\frac{\sqrt{26}}{26}=-\frac1{\sqrt{26}}. \]

Так как \(\alpha\in\left(\frac\pi2;\pi\right)\), то \(\sin\alpha>0\):

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\frac1{26}}=\frac5{\sqrt{26}}. \]

\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}}=-5. \]

2.

\[ 18\sqrt2\cdot\tg\frac\pi4\cdot\sin\frac\pi4 =18\sqrt2\cdot1\cdot\frac{\sqrt2}{2}=18. \]

Для следующих заданий:

\[ \cos^2\frac\pi{12}=\frac{2+\sqrt3}{4},\qquad \sin^2\frac\pi{12}=\frac{2-\sqrt3}{4}, \]

\[ \sin^2\frac\pi8=\frac{2-\sqrt2}{4}. \]

3.

\[ 2\sqrt3\cos^2\frac{13\pi}{12}-\sqrt3 =2\sqrt3\cdot\frac{2+\sqrt3}{4}-\sqrt3 =\frac32. \]

4.

\[ 4\sqrt2-8\sqrt2\sin^2\frac{7\pi}{8} =4\sqrt2-8\sqrt2\cdot\frac{2-\sqrt2}{4}=4. \]

5.

\[ 6\sqrt3\cos^2\frac{11\pi}{12}-3\sqrt3 =6\sqrt3\cdot\frac{2+\sqrt3}{4}-3\sqrt3 =\frac92. \]

6.

\[ \frac{4\sin41^\circ\cos41^\circ}{\sin82^\circ} =\frac{2\sin82^\circ}{\sin82^\circ}=2. \]

7.

\[ 4\sqrt3\left(\cos^2\frac{23\pi}{12} -\sin^2\frac{23\pi}{12}\right) =4\sqrt3\cos\frac{23\pi}{6}. \]

\[ \cos\frac{23\pi}{6}=\cos\left(-\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt3}{2}, \]

\[ 4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6. \]

8.

\[ 5\sqrt2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} =\frac{5\sqrt2}{2}\sin\frac{3\pi}{4} =\frac{5\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac52. \]

9.

\[ 3\sqrt3-6\sqrt3\sin^2\frac{13\pi}{12} =3\sqrt3-6\sqrt3\cdot\frac{2-\sqrt3}{4} =\frac92. \]

10.

\[ 8\sqrt3\cos^2\frac\pi{12}-4\sqrt3 =8\sqrt3\cdot\frac{2+\sqrt3}{4}-4\sqrt3=6. \]

11.

\[ 3\cos2\alpha=3(1-2\sin^2\alpha) =3(1-2\cdot0{,}6^2) =3(1-0{,}72)=0{,}84=\frac{21}{25}. \]

12.

\[ 3\sqrt2\left(\cos^2\frac{9\pi}{8} -\sin^2\frac{9\pi}{8}\right) =3\sqrt2\cos\frac{9\pi}{4}. \]

\[ \cos\frac{9\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad 3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3. \]

Проверка: во всех преобразованиях использованы формулы двойного угла и значения основных углов; знак в первом задании учтён по II четверти.