Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Представьте в виде дроби:
   а) \(\displaystyle \frac{2ax}{3}\);
   б) \(\displaystyle \frac{3b}{10a}\);
   в) \(\displaystyle \frac{5(x+1)}{x-2}\);
   г) \(\displaystyle -\frac{48}{b}\).

2. Выполните действия:
   а) \(\displaystyle \frac{c}{y}\);
   б) \(\displaystyle -\frac{3y}{y+3}\).

3. Значение выражения не зависит от \(x\) и равно \(\boxed{0}\).

Решение

1а)

\[ \frac{2a}{51x^6y}\cdot17x^7y =\frac{34ax^7y}{51x^6y} =\frac{2ax}{3}. \]

Сократили \(34:51=2:3\), \(x^7:x^6=x\), \(y\).

1б)

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{24b^2c}{5a^6}:\frac{16bc}{a^5} = \frac{24b^2c}{5a^6}\cdot\frac{a^5}{16bc}. \]

\[ =\frac{24b}{80a} =\frac{3b}{10a}. \]

1в)

Разложим многочлены на множители:

\[ \frac{5x+10}{x-1}:\frac{x^2-4}{x^2-1} = \frac{5(x+2)}{x-1}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}. \]

Сокращаем одинаковые множители:

\[ \boxed{\frac{5(x+1)}{x-2}}. \]

ОДЗ: \(x\ne -2,-1,1,2\).

1г)

\[ \left(-\frac{9a^3}{2b^5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{4b^3}{3a^2}\right)^3 = \frac{9^2a^6}{2^2b^{10}} \cdot \left(-\frac{4^3b^9}{3^3a^6}\right). \]

\[ = -\frac{9^2\cdot4^3}{2^2\cdot3^3}\cdot\frac1b = -\frac{48}{b}. \]

---

2а)

\[ \frac{y+c}{c}\left(\frac cy-\frac c{y+c}\right). \]

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\[ \frac cy-\frac c{y+c} = \frac{c(y+c)-cy}{y(y+c)} = \frac{c^2}{y(y+c)}. \]

Тогда

\[ \frac{y+c}{c}\cdot\frac{c^2}{y(y+c)} = \boxed{\frac cy}. \]

ОДЗ: \(c\ne0,\ y\ne0,\ y+c\ne0\).

2б)

\[ \frac{y-3}{y+3}\left(y+\frac{y^2}{3-y}\right). \]

\[ y+\frac{y^2}{3-y} = \frac{y(3-y)+y^2}{3-y} = \frac{3y}{3-y}. \]

Поэтому

\[ \frac{y-3}{y+3}\cdot\frac{3y}{3-y} = -\frac{3y}{y+3}. \]

Ответ:

\[ \boxed{-\frac{3y}{y+3}}. \]

ОДЗ: \(y\ne3,\ y\ne-3\).

---

3)

Обозначим выражение через \(E\):

\[ E=\frac{x}{x+2} -\frac{(x-2)^2}{2} \left( \frac1{x^2-4} +\frac1{x^2-4x+4} \right). \]

Разложим знаменатели:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2. \]

Тогда при \(x\ne\pm2\):

\[ E= \frac{x}{x+2} -\frac{(x-2)^2}{2} \left( \frac1{(x-2)(x+2)} +\frac1{(x-2)^2} \right). \]

\[ E= \frac{x}{x+2} -\left( \frac{x-2}{2(x+2)}+\frac12 \right). \]

Приведём первые дроби к общему знаменателю:

\[ E= \frac{2x-(x-2)}{2(x+2)}-\frac12 = \frac{x+2}{2(x+2)}-\frac12 = \frac12-\frac12=0. \]

Следовательно, выражение при всех \(x\ne\pm2\) постоянно и равно

\[ \boxed{0}. \]

Проверка, например, при \(x=3\): выражение также даёт \(0\).