Реши задание на изображении
Краткий ответ
а) \(\displaystyle \frac{2ax}{3}\);
б) \(\displaystyle \frac{3b}{10a}\);
в) \(\displaystyle \frac{5(x+1)}{x-2}\);
г) \(\displaystyle -\frac{48}{b}\).а) \(\displaystyle \frac{c}{y}\);
б) \(\displaystyle -\frac{3y}{y+3}\).Значение выражения равно \(\boxed{0}\), поэтому от \(x\) не зависит.
Решение
1. Представьте в виде дроби
а)
\[ \frac{2a}{51x^6y}\cdot17x^7y =\frac{34ax^7y}{51x^6y} =\frac{2ax}{3}. \]
б) Деление заменяем умножением на обратную дробь:
\[ \frac{24b^2c}{5a^6}:\frac{16bc}{a^5} = \frac{24b^2c}{5a^6}\cdot\frac{a^5}{16bc}. \]
Сокращаем:
\[ \frac{24b^2ca^5}{80a^6bc} =\frac{3b}{10a}. \]
в) Разложим многочлены на множители:
\[ 5x+10=5(x+2),\qquad x^2-4=(x-2)(x+2), \] \[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Тогда
\[ \frac{5x+10}{x-1}:\frac{x^2-4}{x^2-1} = \frac{5(x+2)}{x-1}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}. \]
Сокращаем:
\[ \boxed{\frac{5(x+1)}{x-2}}. \]
Для исходного выражения \(x\ne-2,-1,1,2\).
г)
\[ \left(-\frac{9a^3}{2b^5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{4b^3}{3a^2}\right)^3 = \frac{81a^6}{4b^{10}}\cdot \left(-\frac{64b^9}{27a^6}\right). \]
Сокращаем степени:
\[ -\frac{81\cdot64}{4\cdot27}\cdot\frac1b =-\frac{48}{b}. \]
2. Выполните действия
а)
\[ \frac{y+c}{c}\left(\frac cy-\frac c{y+c}\right). \]
Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
\[ \frac cy-\frac c{y+c} = \frac{c(y+c)-cy}{y(y+c)} = \frac{c^2}{y(y+c)}. \]
Теперь:
\[ \frac{y+c}{c}\cdot\frac{c^2}{y(y+c)} =\boxed{\frac cy}. \]
б)
\[ \frac{y-3}{y+3} \left(y+\frac{y^2}{3-y}\right). \]
Приведём скобки к общему знаменателю:
\[ y+\frac{y^2}{3-y} = \frac{y(3-y)+y^2}{3-y} = \frac{3y}{3-y}. \]
Тогда
\[ \frac{y-3}{y+3}\cdot\frac{3y}{3-y}. \]
Так как \(3-y=-(y-3)\), получаем:
\[ \boxed{-\frac{3y}{y+3}}. \]
Ограничения исходного выражения: \(y\ne3\), \(y\ne-3\).
3. Доказательство
Обозначим выражение через \(E\):
\[ E= \frac{x}{x+2} -\frac{(x-2)^2}{2} \left( \frac1{x^2-4} + \frac1{x^2-4x+4} \right). \]
Разложим знаменатели:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2. \]
Тогда
\[ \frac1{x^2-4}+\frac1{x^2-4x+4} = \frac1{(x-2)(x+2)}+\frac1{(x-2)^2}. \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{x-2}{(x-2)^2(x+2)} + \frac{x+2}{(x-2)^2(x+2)} = \frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}. \]
Подставим:
\[ E= \frac{x}{x+2} -\frac{(x-2)^2}{2}\cdot \frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}. \]
Сокращаем:
\[ E=\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0. \]
Следовательно, при \(x\ne\pm2\) значение выражения постоянно и равно
\[ \boxed{0}. \]
