Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(\angle A=39^\circ,\ \angle C=63^\circ,\ \angle D=126^\circ\)
   \(\angle B=132^\circ\).

2. \(\angle A=15^\circ,\ \angle C=45^\circ,\ \angle D=180^\circ\)
   \(\angle B=120^\circ\).

1. \(48^\circ,\ 72^\circ,\ 96^\circ,\ 144^\circ\) — четырёхугольник выпуклый.
2. \(24^\circ,\ 48^\circ,\ 72^\circ,\ 216^\circ\) — невыпуклый.

1. \(60^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ,\ 120^\circ\) — четырёхугольник выпуклый.
2. \(36^\circ,\ 54^\circ,\ 72^\circ,\ 198^\circ\) — невыпуклый.

Решение

Сумма углов любого четырёхугольника равна:

\[ 360^\circ. \]

1

Пусть \(\angle C=x\). Тогда:

\[ \angle A=x-24^\circ,\qquad \angle D=2x. \]

Составим уравнение:

\[ (x-24^\circ)+132^\circ+x+2x=360^\circ. \]

\[ 4x+108^\circ=360^\circ, \]

\[ 4x=252^\circ,\qquad x=63^\circ. \]

Значит:

\[ \angle C=63^\circ, \]

\[ \angle A=63^\circ-24^\circ=39^\circ, \]

\[ \angle D=2\cdot63^\circ=126^\circ. \]

Проверка:

\[ 39^\circ+132^\circ+63^\circ+126^\circ=360^\circ. \]

---

2

Пусть \(\angle C=x\). Тогда:

\[ \angle A=x-30^\circ,\qquad \angle D=4x. \]

Составим уравнение:

\[ (x-30^\circ)+120^\circ+x+4x=360^\circ. \]

\[ 6x+90^\circ=360^\circ, \]

\[ 6x=270^\circ,\qquad x=45^\circ. \]

Следовательно:

\[ \angle C=45^\circ, \]

\[ \angle A=45^\circ-30^\circ=15^\circ, \]

\[ \angle D=4\cdot45^\circ=180^\circ. \]

Проверка:

\[ 15^\circ+120^\circ+45^\circ+180^\circ=360^\circ. \]

Угол \(180^\circ\) является пограничным случаем: обычный невырожденный четырёхугольник таких углов не имеет.

---

3

Если углы пропорциональны числам \(a,b,c,d\), то их можно записать так:

\[ ka,\ kb,\ kc,\ kd. \]

Коэффициент \(k\) находим из суммы углов.

3.1. Числа \(2,3,4,6\)

\[ 2+3+4+6=15, \]

\[ k=\frac{360^\circ}{15}=24^\circ. \]

Углы:

\[ 2\cdot24^\circ=48^\circ, \]

\[ 3\cdot24^\circ=72^\circ, \]

\[ 4\cdot24^\circ=96^\circ, \]

\[ 6\cdot24^\circ=144^\circ. \]

Все углы меньше \(180^\circ\), значит, четырёхугольник выпуклый.

3.2. Числа \(1,2,3,9\)

\[ 1+2+3+9=15, \qquad k=24^\circ. \]

Углы:

\[ 24^\circ,\quad48^\circ,\quad72^\circ,\quad216^\circ. \]

Так как один угол больше \(180^\circ\), четырёхугольник невыпуклый.

---

4

4.1. Числа \(3,4,5,6\)

\[ 3+4+5+6=18, \]

\[ k=\frac{360^\circ}{18}=20^\circ. \]

Углы:

\[ 3\cdot20^\circ=60^\circ, \]

\[ 4\cdot20^\circ=80^\circ, \]

\[ 5\cdot20^\circ=100^\circ, \]

\[ 6\cdot20^\circ=120^\circ. \]

Все углы меньше \(180^\circ\), значит, четырёхугольник выпуклый.

4.2. Числа \(2,3,4,11\)

\[ 2+3+4+11=20, \]

\[ k=\frac{360^\circ}{20}=18^\circ. \]

Углы:

\[ 2\cdot18^\circ=36^\circ, \]

\[ 3\cdot18^\circ=54^\circ, \]

\[ 4\cdot18^\circ=72^\circ, \]

\[ 11\cdot18^\circ=198^\circ. \]

Один угол больше \(180^\circ\), поэтому четырёхугольник невыпуклый.