реши все и распиши решение
Анализ показательных неравенств
Я рассматриваю список неравенств, возможно, содержащих переменную \(x\). Задача — решить их все. Первое, по-видимому, имеет вид \(4^x < \frac{1}{2}\), затем \(2^x \ge \frac{1}{2}\). Третье — \((13/11)^{x^2-3x} < \frac{121}{169}\), за ним следует \(3^x > 27\). Далее идут \((1/5)^x \le 1/25\) и \((0.3)^x \ge 1\). Последние два, по-видимому, имеют вид \(3^x < -9\) и \(2^x > -2\). Все они похожи на показательные неравенства, поэтому мне нужно сосредоточиться на точном понимании показателей.
Анализ математических выражений
Я рассматриваю первую строку примерно на уровне \(y=280\), где левое выражение показывает \(x=143\) и, возможно, содержит \(4^x\), причём показатель начинается примерно в точке \(x=174\), \(y=273\). Знак «меньше» находится в точке \(x=213\), а дробь \(\frac{1}{2}\) — в точке \(x=258\). Далее, на уровне \(y=459\), при \(x=145\) отображается \(2^x\), показатель находится в точке \(x=179\), \(y=446\), и я проверю неравенство там. Аналогичные закономерности наблюдаются и в других строках, например при \(y=591\) и \(y=672\). Поэтому мне нужно решить их и чётко объяснить принципы!
Решение неравенств
Я разбираю неравенство \(a^{-2x}<a^{-1}\), которое приводит к \(-2x>-1\), а в итоге к \(x<1/2\). Я также могу выразить это с помощью преобразования взаимных величин, и результат совпадает. Я хочу уточнить некоторые правила изменения знаков неравенств для показательных функций в зависимости от того, больше или меньше основания единицы.
Мне нужно быть кратким, предоставив при этом все необходимые проверки и рассмотрев возможные неоднозначности. Также следует учесть проблемы с разборчивостью изображений.
Проверка неравенств
Я хочу подтвердить, что все знаки в неравенствах видны правильно. Нужно проверить несколько строк, например \(4^x < 1/2\) и \(2^x \ge 1/2\). Четвёртое неравенство \(3^x > 27\), по-видимому, указано верно, однако восьмое, \(3^x < -9\), выглядит странно; возможно, обозначение показателя степени неясно. Также нужно проверить девятое, \(2^x > -2\). Похоже, мне придётся решить их как в интервальной записи, так и в текстовой форме, чтобы обеспечить ясность.
Краткий ответ
- \(4^x<\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad x<-\dfrac12\).
- \(2^x\ge\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad x\ge-1\).
- \(\left(\dfrac{13}{11}\right)^{x^2-3x}<\dfrac{121}{169}\quad\Rightarrow\quad 1<x<2\).
- \(3^x>27 \quad\Rightarrow\quad x>3\).
- \(\left(\dfrac15\right)^x\le\dfrac1{25}\quad\Rightarrow\quad x\ge2\).
- \((0{,}3)^x\ge1\quad\Rightarrow\quad x\le0\).
- \(\left(\dfrac12\right)^x>4\quad\Rightarrow\quad x<-2\).
- \(3^x<-9\quad\Rightarrow\quad \varnothing\).
- \(2^x>-2\quad\Rightarrow\quad x\in\mathbb R\).
- \(\left(\dfrac35\right)^{-2x}<1\dfrac23\quad\Rightarrow\quad x<\dfrac12\).
Решение
Основное правило:
- если \(a>1\), функция \(a^x\) возрастает, знак неравенства сохраняется;
- если \(0<a<1\), функция \(a^x\) убывает, знак неравенства меняется на противоположный.
1.
\[ 4^x<\frac12 \]
Представим правую часть как степень числа \(4\):
\[ \frac12=4^{-\frac12}. \]
Так как \(4>1\), сравниваем показатели:
\[ x<-\frac12. \]
2.
\[ 2^x\ge\frac12 \]
\[ \frac12=2^{-1}. \]
Основание \(2>1\), поэтому
\[ x\ge-1. \]
3.
\[ \left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x}<\frac{121}{169} \]
Правая часть:
\[ \frac{121}{169}=\left(\frac{11}{13}\right)^2 =\left(\frac{13}{11}\right)^{-2}. \]
Получаем:
\[ \left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x} < \left(\frac{13}{11}\right)^{-2}. \]
Так как \(\dfrac{13}{11}>1\), то
\[ x^2-3x<-2. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ x^2-3x+2<0, \]
\[ (x-1)(x-2)<0. \]
Произведение отрицательно между корнями:
\[ \boxed{1<x<2}. \]
4.
\[ 3^x>27. \]
Так как
\[ 27=3^3, \]
а \(3>1\), то
\[ x>3. \]
5.
\[ \left(\frac15\right)^x\le\frac1{25}. \]
\[ \frac1{25}=\left(\frac15\right)^2. \]
Основание \(\dfrac15\) находится между \(0\) и \(1\), поэтому знак меняется:
\[ x\ge2. \]
6.
\[ (0{,}3)^x\ge1. \]
Единицу представим как степень:
\[ 1=(0{,}3)^0. \]
Так как \(0<0{,}3<1\), функция убывает, поэтому
\[ x\le0. \]
7.
\[ \left(\frac12\right)^x>4. \]
\[ 4=\left(\frac12\right)^{-2}. \]
Так как \(0<\dfrac12<1\), знак меняется:
\[ x<-2. \]
8.
\[ 3^x<-9. \]
Любая степень положительного числа положительна:
\[ 3^x>0. \]
Положительное число не может быть меньше \(-9\). Поэтому решений нет:
\[ \boxed{\varnothing}. \]
9.
\[ 2^x>-2. \]
Для любого действительного \(x\)
\[ 2^x>0. \]
А \(0>-2\), значит неравенство выполняется при всех \(x\):
\[ \boxed{x\in\mathbb R}. \]
10.
\[ \left(\frac35\right)^{-2x}<1\dfrac23. \]
Преобразуем смешанное число:
\[ 1\dfrac23=\frac53=\left(\frac35\right)^{-1}. \]
Тогда
\[ \left(\frac35\right)^{-2x} < \left(\frac35\right)^{-1}. \]
Поскольку \(0<\dfrac35<1\), знак при сравнении показателей меняется:
\[ -2x>-1. \]
Делим на \(-2\) и меняем знак:
\[ x<\frac12. \]
Ответы:
\[
\boxed{x<-\frac12;\quad x\ge-1;\quad 1<x<2;\quad x>3;\quad x\ge2;}
\]
\[ \boxed{x\le0;\quad x<-2;\quad \varnothing;\quad x\in\mathbb R;\quad x<\frac12.} \]
