Реши все и распиши решение
Краткий ответ
- \(x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\)
- \(x\in(-\infty;4]\)
- \(x\in(1;2)\)
- \(x\in(3;+\infty)\)
- \(x\in[2;+\infty)\)
- \(x\in(-\infty;-3]\)
- \(x\in(-\infty;-2)\)
- Решений нет: \(\varnothing\)
- \(x\in\mathbb R\)
- \(x\in(-9;+\infty)\)
Правило
Для показательной функции:
- если \(a>1\), знак неравенства сохраняется;
- если \(0<a<1\), знак неравенства меняется на противоположный;
- \(a^x>0\) при любом действительном \(x\).
1. \(4^x<\frac12\)
Представим всё с основанием \(2\):
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x},\qquad \frac12=2^{-1}. \]
Получаем:
\[ 2^{2x}<2^{-1}. \]
Так как \(2>1\), сравниваем показатели:
\[ 2x<-1. \]
Делим на \(2\):
\[ \boxed{x<-\frac12}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac12\right)}. \]
2. \(2^{3-x}\ge\frac12\)
Представим дробь как степень двойки:
\[ \frac12=2^{-1}. \]
Тогда:
\[ 2^{3-x}\ge2^{-1}. \]
Основание \(2>1\), поэтому:
\[ 3-x\ge-1. \]
Решаем:
\[ -x\ge-4, \]
\[ \boxed{x\le4}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;4]}. \]
При \(x=4\) получается равенство, поэтому \(4\) входит в ответ.
3. \(\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x}<\frac{121}{169}\)
Представим правую часть как степень с тем же основанием:
\[ \frac{121}{169} =\frac{11^2}{13^2} =\left(\frac{13}{11}\right)^{-2}. \]
Получаем:
\[ \left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x} < \left(\frac{13}{11}\right)^{-2}. \]
Так как \(\frac{13}{11}>1\), сравниваем показатели:
\[ x^2-3x<-2. \]
Переносим всё в левую часть:
\[ x^2-3x+2<0. \]
Разложим на множители:
\[ (x-1)(x-2)<0. \]
Произведение отрицательно между корнями:
\[ \boxed{1<x<2}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(1;2)}. \]
4. \(3^x>27\)
Представим \(27\) как степень тройки:
\[ 27=3^3. \]
Тогда:
\[ 3^x>3^3. \]
Так как \(3>1\), сравниваем показатели:
\[ \boxed{x>3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(3;+\infty)}. \]
5. \(\left(\frac15\right)^x\le\frac1{25}\)
Представим правую часть:
\[ \frac1{25}=\left(\frac15\right)^2. \]
Получаем:
\[ \left(\frac15\right)^x\le \left(\frac15\right)^2. \]
Основание \(\frac15\) находится между \(0\) и \(1\), поэтому знак меняется:
\[ x\ge2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in[2;+\infty)}. \]
6. \((0,3)^{x+3}\ge1\)
Единицу представим как любую степень с показателем \(0\):
\[ 1=(0,3)^0. \]
Тогда:
\[ (0,3)^{x+3}\ge(0,3)^0. \]
Так как \(0<0,3<1\), знак меняется:
\[ x+3\le0. \]
Следовательно:
\[ \boxed{x\le-3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-3]}. \]
7. \(\left(\frac12\right)^x>4\)
Представим \(4\) как степень числа \(\frac12\):
\[ 4=\left(\frac12\right)^{-2}. \]
Получаем:
\[ \left(\frac12\right)^x> \left(\frac12\right)^{-2}. \]
Основание меньше \(1\), поэтому знак меняется:
\[ x<-2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2)}. \]
8. \(3^x<-9\)
При любом действительном \(x\):
\[ 3^x>0. \]
Положительное число не может быть меньше отрицательного числа \(-9\).
Ответ:
\[ \boxed{\varnothing}. \]
9. \(2^x>-2\)
При любом действительном \(x\):
\[ 2^x>0. \]
А любое положительное число больше \(-2\). Значит, подходят все действительные \(x\).
Ответ:
\[ \boxed{x\in\mathbb R}. \]
10. \(\left(\frac35\right)^{x+8}<1\frac23\)
Преобразуем смешанное число:
\[ 1\frac23=\frac53. \]
Представим его как степень числа \(\frac35\):
\[ \frac53=\left(\frac35\right)^{-1}. \]
Тогда:
\[ \left(\frac35\right)^{x+8} < \left(\frac35\right)^{-1}. \]
Так как \(0<\frac35<1\), знак меняется:
\[ x+8>-1. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x>-9}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-9;+\infty)}. \]
При \(x=-9\) получается равенство, поэтому это число в ответ не входит.
