Задание 2.3. Центральная симметрия и параллелограмм. 1. Постройте отрезок АВ. Постройте отрезок ВС 3. Постройте отрезок CD. 4. Постройте отрезок DA. Вы получили четырехугольник ABCD (сначала может получиться не параллелограмм). 5. Выберите центр симметрии О. 6. Постройте точки А', В', С, D', симметричные точкам А, В, С, D относительно О Соедините их в таком же порядке: A'B, В'С, CD', D'A'. Исследование: • Попробуйте сделать так, чтобы исходный четырехугольник ABCD был параллелограммом. (Например, постройте АВ, затем через В проведите прямую, параллельную АВ, отложите отрезок ВС. Затем через С проведите прямую, параллельную АВ, и через А проведите прямую, параллельную ВС. Точка их пересечения будет D). • Выберите центр симметрии О. Постройте симметричный образ A'B'C'D" Что вы заметили? Проверьте, является ли А'В'С параллелограммом (проверьте параллельность сторон). Вопросы к заданию 2.3: 1. Если исходный четырехугольник ABCD - параллелограмм, является ли его образ А'В'С'D' при центральной симметрии также параллелограммом? 2. Как соотносятся стороны параллелограмма ABCD и его образа A'B'CD*? Итоговые выводы: 1. Как можно построить точку А, симметричную точке А относительно точки О, используя только прямую и циркуль (или их аналоги в GeoGebra)? Что должно выполняться для точки О? 2. Какие свойства геометрических фигур сохраняются при центральной симметрии (например, длина отрезка, величина угла, параллельность)? 3. В каких случаях фигура при центральной симметрии отображается сама в себя? (Попробуйте в GeoGebra найти такую точку О и такую фигуру, чтобы при симметрии относительно О фигура не изменилась).

Question 1

Задача Задача №3726580

А

Аноним

14 октября 2026 07:44 · публичный вопрос

А

Аноним 14 октября 2026 07:44

Задание 2.3. Центральная симметрия и параллелограмм. 1. Постройте отрезок АВ. Постройте отрезок ВС 3. Постройте отрезок CD. 4. Постройте отрезок DA. Вы получили четырехугольник ABCD (сначала может получиться не параллелограмм). 5. Выберите центр симметрии О. 6. Постройте точки А', В', С, D', симметричные точкам А, В, С, D относительно О Соедините их в таком же порядке: A'B, В'С, CD', D'A'. Исследование: • Попробуйте сделать так, чтобы исходный четырехугольник ABCD был параллелограммом. (Например, постройте АВ, затем через В проведите прямую, параллельную АВ, отложите отрезок ВС. Затем через С проведите прямую, параллельную АВ, и через А проведите прямую, параллельную ВС. Точка их пересечения будет D). • Выберите центр симметрии О. Постройте симметричный образ A'B'C'D" Что вы заметили? Проверьте, является ли А'В'С параллелограммом (проверьте параллельность сторон). Вопросы к заданию 2.3: 1. Если исходный четырехугольник ABCD - параллелограмм, является ли его образ А'В'С'D' при центральной симметрии также параллелограммом? 2. Как соотносятся стороны параллелограмма ABCD и его образа A'B'CD*? Итоговые выводы: 1. Как можно построить точку А, симметричную точке А относительно точки О, используя только прямую и циркуль (или их аналоги в GeoGebra)? Что должно выполняться для точки О? 2. Какие свойства геометрических фигур сохраняются при центральной симметрии (например, длина отрезка, величина угла, параллельность)? 3. В каких случаях фигура при центральной симметрии отображается сама в себя? (Попробуйте в GeoGebra найти такую точку О и такую фигуру, чтобы при симметрии относительно О фигура не изменилась).

Answer

Краткий ответ

Да, образ параллелограмма при центральной симметрии также является параллелограммом.
Соответствующие стороны сохраняют длины и параллельность: \[ |A'B'|=|AB|,\quad |B'C'|=|BC|, \] \[ A'B'\parallel AB,\quad B'C'\parallel BC. \]
Точку \(A'\) строят так, чтобы \(O\) была серединой отрезка \(AA'\): \[ A,O,A'\text{ лежат на одной прямой},\qquad OA=OA'. \]
Фигура отображается сама в себя, если она имеет центр симметрии. У параллелограмма это точка пересечения диагоналей.

Почему образ параллелограмма — параллелограмм

Центральная симметрия — это поворот на \(180^\circ\) вокруг точки \(O\). Для любой точки \(X\) её образ \(X'\) удовлетворяет условию: \(O\) — середина \(XX'\).

При симметрии:

длины отрезков не изменяются;
величины углов не изменяются;
сохраняются параллельность и перпендикулярность;
сохраняется форма фигуры.

Если \(ABCD\) — параллелограмм, то

\[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \]

После симметрии:

\[ A'B'\parallel AB,\qquad C'D'\parallel CD, \] поэтому \[ A'B'\parallel C'D'. \]

Аналогично,

\[ B'C'\parallel BC,\qquad D'A'\parallel DA, \] значит, \[ B'C'\parallel D'A'. \]

У образа \(A'B'C'D'\) обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Кроме того,

\[ |A'B'|=|AB|,\quad |B'C'|=|BC|,\quad |C'D'|=|CD|,\quad |D'A'|=|DA|. \]

Как построить симметричную точку \(A'\)

Проведите прямую \(AO\).
Циркулем измерьте расстояние \(OA\).
С центром в точке \(O\) проведите окружность радиуса \(OA\).
Вторая точка пересечения окружности с прямой \(AO\) — это \(A'\).

Тогда

\[ OA'=OA, \]

а точка \(O\) лежит между \(A\) и \(A'\), то есть является серединой отрезка \(AA'\).

Так же строятся точки \(B'\), \(C'\) и \(D'\).

В GeoGebra можно воспользоваться инструментом «Центральная симметрия»: выбрать точку, затем центр симметрии \(O\).

Что проверять в GeoGebra

Для параллелограмма нужно проверить:

\[ A'B'\parallel C'D', \qquad B'C'\parallel D'A'. \]

Также можно проверить равенство длин:

\[ |A'B'|=|AB|, \qquad |B'C'|=|BC|. \]

Если исходная фигура — произвольный четырёхугольник, её образ будет равным ему четырёхугольником, но параллелограммом он станет только тогда, когда исходный четырёхугольник уже был параллелограммом.

Когда фигура совпадает со своим образом

Фигура отображается сама в себя, если для каждой её точки симметричная относительно \(O\) точка также принадлежит этой фигуре.

Примеры:

у параллелограмма центр симметрии — пересечение диагоналей;
у прямоугольника, ромба и квадрата — также пересечение диагоналей;
у окружности — её центр;
у отрезка — его середина.

Для параллелограмма при симметрии относительно точки пересечения диагоналей:

\[ A'=C,\qquad B'=D,\qquad C'=A,\qquad D'=B. \]

Поэтому образ полностью совпадает с исходным параллелограммом.

Question 2

Задание 2.3. Центральная симметрия и параллелограмм. 1. Постройте отрезок АВ. Постройте отрезок ВС 3. Постройте отрезок CD. 4. Постройте отрезок DA. Вы получили четырехугольник ABCD (сначала может получиться не параллелограмм). 5. Выберите центр симметрии О. 6. Постройте точки А', В', С, D', симметричные точкам А, В, С, D относительно О Соедините их в таком же порядке: A'B, В'С, CD', D'A'. Исследование: • Попробуйте сделать так, чтобы исходный четырехугольник ABCD был параллелограммом. (Например, постройте АВ, затем через В проведите прямую, параллельную АВ, отложите отрезок ВС. Затем через С проведите прямую, параллельную АВ, и через А проведите прямую, параллельную ВС. Точка их пересечения будет D). • Выберите центр симметрии О. Постройте симметричный образ A'B'C'D" Что вы заметили? Проверьте, является ли А'В'С параллелограммом (проверьте параллельность сторон). Вопросы к заданию 2.3: 1. Если исходный четырехугольник ABCD - параллелограмм, является ли его образ А'В'С'D' при центральной симметрии также параллелограммом? 2. Как соотносятся стороны параллелограмма ABCD и его образа A'B'CD*? Итоговые выводы: 1. Как можно построить точку А, симметричную точке А относительно точки О, используя только прямую и циркуль (или их аналоги в GeoGebra)? Что должно выполняться для точки О? 2. Какие свойства геометрических фигур сохраняются при центральной симметрии (например, длина отрезка, величина угла, параллельность)? 3. В каких случаях фигура при центральной симметрии отображается сама в себя? (Попробуйте в GeoGebra найти такую точку О и такую фигуру, чтобы при симметрии относительно О фигура не изменилась).

Answer

### Краткий ответ 1. **Да**, образ параллелограмма при центральной симметрии также является параллелограммом. 2. Соответствующие стороны сохраняют длины и параллельность: \[ |A'B'|=|AB|,\quad |B'C'|=|BC|, \] \[ A'B'\parallel AB,\quad B'C'\parallel BC. \] 3. Точку \(A'\) строят так, чтобы \(O\) была серединой отрезка \(AA'\): \[ A,O,A'\text{ лежат на одной прямой},\qquad OA=OA'. \] 4. Фигура отображается сама в себя, если она имеет центр симметрии. У параллелограмма это точка пересечения диагоналей. ### Почему образ параллелограмма — параллелограмм Центральная симметрия — это поворот на \(180^\circ\) вокруг точки \(O\). Для любой точки \(X\) её образ \(X'\) удовлетворяет условию: \(O\) — середина \(XX'\). При симметрии: - длины отрезков не изменяются; - величины углов не изменяются; - сохраняются параллельность и перпендикулярность; - сохраняется форма фигуры. Если \(ABCD\) — параллелограмм, то \[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \] После симметрии: \[ A'B'\parallel AB,\qquad C'D'\parallel CD, \] поэтому \[ A'B'\parallel C'D'. \] Аналогично, \[ B'C'\parallel BC,\qquad D'A'\parallel DA, \] значит, \[ B'C'\parallel D'A'. \] У образа \(A'B'C'D'\) обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, это параллелограмм. Кроме того, \[ |A'B'|=|AB|,\quad |B'C'|=|BC|,\quad |C'D'|=|CD|,\quad |D'A'|=|DA|. \] ### Как построить симметричную точку \(A'\) 1. Проведите прямую \(AO\). 2. Циркулем измерьте расстояние \(OA\). 3. С центром в точке \(O\) проведите окружность радиуса \(OA\). 4. Вторая точка пересечения окружности с прямой \(AO\) — это \(A'\). Тогда \[ OA'=OA, \] а точка \(O\) лежит между \(A\) и \(A'\), то есть является серединой отрезка \(AA'\). Так же строятся точки \(B'\), \(C'\) и \(D'\). В GeoGebra можно воспользоваться инструментом **«Центральная симметрия»**: выбрать точку, затем центр симметрии \(O\). ### Что проверять в GeoGebra Для параллелограмма нужно проверить: \[ A'B'\parallel C'D', \qquad B'C'\parallel D'A'. \] Также можно проверить равенство длин: \[ |A'B'|=|AB|, \qquad |B'C'|=|BC|. \] Если исходная фигура — произвольный четырёхугольник, её образ будет равным ему четырёхугольником, но параллелограммом он станет только тогда, когда исходный четырёхугольник уже был параллелограммом. ### Когда фигура совпадает со своим образом Фигура отображается сама в себя, если для каждой её точки симметричная относительно \(O\) точка также принадлежит этой фигуре. Примеры: - у параллелограмма центр симметрии — пересечение диагоналей; - у прямоугольника, ромба и квадрата — также пересечение диагоналей; - у окружности — её центр; - у отрезка — его середина. Для параллелограмма при симметрии относительно точки пересечения диагоналей: \[ A'=C,\qquad B'=D,\qquad C'=A,\qquad D'=B. \] Поэтому образ полностью совпадает с исходным параллелограммом.