реши и распиши решение
Решение уравнений по шагам
Я пытаюсь понять, как работать с этими уравнениями. Сначала я замечаю, что для 5^x = 0 нужно изучить соответствующие принципы и внимательно относиться к записи. Затем нужно решить (1/64)^x = 2 и (2/3)^x = 1.5. Следует сосредоточиться на десятичных эквивалентах, например представить 0.04 как 1/25, и понять, как записывать дроби. Важно тщательно проверить свои решения.
Вычисление показательных уравнений
Для наглядности можно использовать таблицу Markdown. Принцип заключается в том, что если переписать обе части с одинаковым основанием, например a^u=a^v, то u должно быть равно v при условии, что a положительно и не равно 1. Для правой части, которая меньше или равна 0, действительных решений не будет, поскольку степени положительного основания всегда больше 0.
Рассматривая конкретные уравнения:
a) 2^x=2^3 означает x=3;
b) 2^x=2^-3 означает x=-3;
c) 2^x=2^0 означает x=0;
d) 3^x=9, откуда x=2;
e) 5^x=1/5, откуда x=-1;
f) 7^x=1/49, откуда x=-2;
g) Наконец, (0.2)^x=1/5 — ещё одно уравнение, которое нужно решить.
Проверка уравнений
Я решаю несколько уравнений. Для \( (1/5)^1 \) я получаю \( x=1 \), что подтверждается проверкой. Для \( (1/3)^x=1/9 \) получается \( x=2 \).
Затем для \( (1/2)^x=8 \) я нахожу \( x=-3 \). Я хочу проверить эти преобразования. Для \( 27^x=3 \) получается \( x=1/3 \).
Я замечаю закономерности в основаниях и их степенях, но следует помнить, что доказывать каждое уравнение не всегда обязательно — хотя это и полезно!
Уточнение вычислений
Я проверяю задание, в котором используются десятичная запись и формат с точкой с запятой. Например, при проверке значений для 6.5 b при x=1/2 я подтверждаю, что квадратный корень из 0.04 равен 0.2. Затем для 6.4 i я вычисляю, что (1/2)^-3 равно 8. Также нужно объяснить принцип отрицательной степени.
Для окончательной проверки можно добавить краткие проверки для сложных примеров. В целом я хочу убедиться, что все вычисления точны и согласованы!
Организация проверок задания
Нужно рассмотреть проверку каждого пункта в таблице и привести краткую строку с подстановкой, например: «Для 6.5: 27^{1/3}=3», чтобы это было понятно. Однако подробные преобразования уже служат эффективной проверкой, поэтому я не хочу перегружать ответ излишней информацией.
Я прослежу, чтобы в окончательном ответе был указан точный маркер, например: «Пришлите фотографии заданий 6.6–6.8». В основном ответе следует упомянуть только видимые задания, хотя в заголовке указаны 6.4–6.8.
На фото видны задания 6.4 и 6.5. Решаем в действительных числах.
Краткий ответ
6.4
а) \(x=3\); б) \(x=-3\); в) \(x=0\);
г) \(x=2\); д) \(x=-1\); е) \(x=-2\);
ж) \(x=1\); з) \(x=2\); и) \(x=-3\).
6.5
а) \(x=\frac13\); б) \(x=\frac12\); в) \(x=-\frac12\);
г) \(x=-\frac12\); д) \(x=-\frac43\); е) решений нет;
ж) решений нет; з) \(x=-\frac16\); и) \(x=-1\).
Правило
Если удалось представить обе части как степени одного и того же числа:
\[ a^m=a^n, \]
то показатели равны:
\[ m=n. \]
Также используем:
\[ a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
Задание 6.4
а) \(\;2^x=2^3\)
Основания одинаковые, поэтому:
\[ x=3. \]
б) \(\;2^x=2^{-3}\)
\[ x=-3. \]
в) \(\;2^x=2^0\)
\[ x=0. \]
г) \(\;3^x=9\)
Представим \(9\) как степень числа \(3\):
\[ 9=3^2. \]
Тогда:
\[ 3^x=3^2, \]
значит,
\[ x=2. \]
д) \(\;5^x=\frac15\)
\[ \frac15=5^{-1}. \]
Следовательно:
\[ 5^x=5^{-1}, \]
\[ x=-1. \]
е) \(\;7^x=\frac1{49}\)
Так как
\[ 49=7^2,\qquad \frac1{49}=7^{-2}, \]
то:
\[ 7^x=7^{-2}, \]
\[ x=-2. \]
ж) \(\;(0{,}2)^x=\frac15\)
Заметим:
\[ 0{,}2=\frac15. \]
Получаем:
\[ \left(\frac15\right)^x=\left(\frac15\right)^1, \]
\[ x=1. \]
Проверка:
\[ (0{,}2)^1=0{,}2=\frac15. \]
з) \(\;\left(\frac13\right)^x=\frac19\)
\[ \frac19=\left(\frac13\right)^2. \]
Тогда:
\[ \left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^2, \]
\[ x=2. \]
и) \(\;\left(\frac12\right)^x=8\)
Представим \(8\) в виде степени с основанием \(\frac12\):
\[ 8=2^3=\left(\frac12\right)^{-3}. \]
Значит:
\[ \left(\frac12\right)^x=\left(\frac12\right)^{-3}, \]
\[ x=-3. \]
Задание 6.5
а) \(\;27^x=3\)
\[ 27=3^3. \]
Тогда:
\[ (3^3)^x=3, \]
\[ 3^{3x}=3^1. \]
Приравниваем показатели:
\[ 3x=1, \]
\[ x=\frac13. \]
б) \(\;(0{,}04)^x=0{,}2\)
Представим десятичные дроби как степени числа \(5\):
\[ 0{,}04=\frac1{25}=5^{-2}, \qquad 0{,}2=\frac15=5^{-1}. \]
Получаем:
\[ (5^{-2})^x=5^{-1}, \]
\[ 5^{-2x}=5^{-1}. \]
Следовательно:
\[ -2x=-1, \]
\[ x=\frac12. \]
Проверка:
\[ (0{,}04)^{1/2}=\sqrt{0{,}04}=0{,}2. \]
в) \(\;49^x=\frac17\)
\[ 49=7^2,\qquad \frac17=7^{-1}. \]
Тогда:
\[ (7^2)^x=7^{-1}, \]
\[ 7^{2x}=7^{-1}. \]
\[ 2x=-1, \]
\[ x=-\frac12. \]
г) \(\;\left(\frac19\right)^x=3\)
\[ \frac19=3^{-2}. \]
Поэтому:
\[ (3^{-2})^x=3^1, \]
\[ 3^{-2x}=3^1. \]
\[ -2x=1, \]
\[ x=-\frac12. \]
д) \(\;\left(\frac18\right)^x=16\)
\[ \frac18=2^{-3},\qquad 16=2^4. \]
Тогда:
\[ (2^{-3})^x=2^4, \]
\[ 2^{-3x}=2^4. \]
\[ -3x=4, \]
\[ x=-\frac43. \]
е) \(\;\left(\frac12\right)^x=-8\)
Для любого действительного \(x\):
\[ \left(\frac12\right)^x>0. \]
Левая часть положительна, а правая часть отрицательна. Поэтому уравнение не имеет действительных решений.
\[ \boxed{\text{Решений нет}} \]
ж) \(\;5^x=0\)
Степень положительного числа \(5\) никогда не равна нулю:
\[ 5^x>0. \]
Поэтому:
\[ \boxed{\text{Решений нет}} \]
з) \(\;\left(\frac1{64}\right)^x=2\)
\[ \frac1{64}=2^{-6},\qquad 2=2^1. \]
Получаем:
\[ (2^{-6})^x=2^1, \]
\[ 2^{-6x}=2^1. \]
\[ -6x=1, \]
\[ x=-\frac16. \]
и) \(\;\left(\frac23\right)^x=1{,}5\)
\[ 1{,}5=\frac32=\left(\frac23\right)^{-1}. \]
Следовательно:
\[ \left(\frac23\right)^x=\left(\frac23\right)^{-1}, \]
\[ x=-1. \]
Проверка:
\[ \left(\frac23\right)^{-1}=\frac32=1{,}5. \]
