№152

Краткий ответ: \[ \boxed{\frac{10}{2m+1}},\qquad m\ne-\frac12,\;0,\;\frac12. \]

Рассмотрим выражение: \[ \left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right): \frac{4m}{10m-5}. \]

1. Выполним вычитание дробей

Общий знаменатель: \[ (2m-1)(2m+1). \]

Тогда \[ \frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2} {(2m-1)(2m+1)}. \]

Используем разность квадратов: \[ (2m+1)^2-(2m-1)^2 =\bigl((2m+1)-(2m-1)\bigr) \bigl((2m+1)+(2m-1)\bigr) =2\cdot4m=8m. \]

Получаем: \[ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}: \frac{4m}{10m-5}. \]

2. Заменим деление умножением

\[ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{10m-5}{4m}. \]

Так как \[ 10m-5=5(2m-1), \] то \[ \frac{8m\cdot5(2m-1)} {(2m-1)(2m+1)\cdot4m}. \]

Сокращаем \(8m:4m=2\) и \(2m-1\): \[ \boxed{\frac{10}{2m+1}}. \]

Ограничения

Нельзя, чтобы знаменатели и делитель равнялись нулю: \[ 2m-1\ne0,\quad 2m+1\ne0,\quad 4m\ne0. \]

Поэтому: \[ m\ne\frac12,\qquad m\ne-\frac12,\qquad m\ne0. \]

Проверка при \(m=1\): \[ \left(3-\frac13\right):\frac45 =\frac83\cdot\frac54 =\frac{10}{3}, \] а \[ \frac{10}{2\cdot1+1}=\frac{10}{3}. \]