159 и 160

Краткий ответ:

• 159а) \(\tg\alpha\)
• 159б) \(-\ctg^2\alpha\)
• 160а) \(-1\)
• 160б) \(-\tg t\)

159

Используем формулы: \[ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos(-\alpha)=\cos\alpha, \] \[ \sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha,\quad \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha. \]

а) \[ \frac{\sin(-\alpha)\sin(90^\circ+\alpha)} {\cos(180^\circ+\alpha)\cos(-\alpha)} = \frac{(-\sin\alpha)\cos\alpha} {(-\cos\alpha)\cos\alpha} \] \[ =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\tg\alpha. \]

б) Используем: \[ \ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha,\quad \cos(270^\circ-\alpha)=-\sin\alpha, \] \[ \tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha. \]

Тогда \[ \frac{\sin(-\alpha)\ctg(-\alpha)} {\cos(270^\circ-\alpha)\tg(180^\circ+\alpha)} = \frac{(-\sin\alpha)(-\ctg\alpha)} {(-\sin\alpha)\tg\alpha}. \]

Так как \(\sin\alpha\ctg\alpha=\cos\alpha\), получаем: \[ \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = -\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} =-\ctg^2\alpha. \]

160

а) \[ \cos(\pi-t)=-\cos t,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t, \] \[ \sin(2\pi-t)=-\sin t,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)=-\cos t. \]

Поэтому \[ \frac{\cos(\pi-t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} {\sin(2\pi-t)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)} = \frac{-\cos t+\sin t}{-\sin t+\cos t} =-1. \]

б) \[ \sin(\pi-t)=\sin t,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\cos t, \] \[ \cos(2\pi-t)=\cos t,\quad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)=-\sin t. \]

Тогда дробь равна: \[ \frac{\sin t+\cos t}{\cos t-(-\sin t)}=1. \]

Остаётся: \[ \tg(\pi-t)=-\tg t. \]

Следовательно, \[ \boxed{-\tg t}. \]

Результаты верны при тех значениях переменных, при которых исходные выражения определены.