Школьный этап ВсОШ 2026/27, математика (1 группа регионов) Задание 1. В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 5 бросков, и в зачёт идут 4 лучших. За каждый бросок можно получить от 1 до 20 баллов. За 5 бросков Петя набрал 64 балла. Какой наименьший балл у него может оказаться в зачёте? Ответ: Задание 2. На день рождения к Васе пришло 28 девушек и 27 юношей. Среди собравшихся 56 человек 28 любят чай, осталь-ные - кофе. Миша посчитал, что девушек, которые предпочитают чай, и юношей, которые предпочитают кофе, суммарно 30. Сколько юношей среди собравшихся предпочитают кофе? Ответ: Задание 3. Найдите количество троек (а; b; с) целых чисел, где 1 ≤ ,b, с ≤ 5 и оба числа аб и вс чётны. Здесь тройки рассматриваются с учётом порядка, то есть (1; 2; 3) и (1; 3; 2) считаются различными. Ответ: Задание 4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки Р и О соответственно, причём АС = СР = РФ = QВ. Известно, что LACB = 104°. Найдите остальные углы треугольника АВС. BAC = LABC = В оркестре 3 скрипача и 4 виолончелиста. На репетиции они садятся в ряд случайным образом. Найдите вероятность того, что все скрипачи окажутся справа от всех виолончелистов. Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Краткие ответы
- 2 балла
- 15 юношей
- 62 тройки
- \(\angle BAC=57^\circ,\quad \angle ABC=19^\circ\)
- \(\dfrac{1}{35}\)
Решение
Задание 1
Упорядочим результаты пяти бросков:
\[ x_1\le x_2\le x_3\le x_4\le x_5. \]
В зачёт идут \(x_2,x_3,x_4,x_5\). Если бы наименьший зачётный результат был \(1\), то максимум общей суммы составил бы
\[ 1+1+20+20+20=62<64. \]
Значит, он не может быть равен \(1\).
Пример с результатом \(2\):
\[ 2+2+20+20+20=64. \]
В зачёт идут \(2,20,20,20\). Поэтому ответ:
\[ \boxed{2}. \]
Задание 2
Вася — 56-й человек, поэтому всего юношей:
\[ 27+1=28. \]
Пусть \(x\) — число девушек, предпочитающих чай, а \(y\) — число юношей, предпочитающих кофе.
Кофе предпочитают \(56-28=28\) человек. Среди них:
- \(28-x\) девушек;
- \(y\) юношей.
Значит,
\[ (28-x)+y=28, \]
откуда \(x=y\).
По условию:
\[ x+y=30. \]
Следовательно,
\[ 2y=30,\qquad y=15. \]
Ответ:
\[ \boxed{15}. \]
Задание 3
Нужно, чтобы оба произведения \(ab\) и \(bc\) были чётными.
1. \(b\) чётное.
Чётные значения \(b\): \(2,4\), то есть 2 варианта. При этом \(a\) и \(c\) могут быть любыми:
\[ 2\cdot5\cdot5=50. \]
2. \(b\) нечётное.
Нечётные значения \(b\): \(1,3,5\), то есть 3 варианта. Тогда для чётности \(ab\) и \(bc\) числа \(a\) и \(c\) должны быть чётными. Чётные значения: \(2,4\):
\[ 3\cdot2\cdot2=12. \]
Итого:
\[ 50+12=\boxed{62}. \]
Задание 4
Читаем условие как \(AC=CP=PQ=QB\), где \(P\in AB\), \(Q\in BC\).
Обозначим:
\[ \alpha=\angle BAC,\qquad \beta=\angle ABC. \]
Так как \(AC=CP\), треугольник \(ACP\) равнобедренный. Поэтому
\[ \angle ACP=180^\circ-2\alpha. \]
Пусть
\[ \delta=\angle PCQ. \]
Так как \(\angle ACB=104^\circ\), то
\[ \delta=104^\circ-(180^\circ-2\alpha)=2\alpha-76^\circ. \]
Из \(CP=PQ\) следует, что в треугольнике \(CPQ\)
\[ \angle PCQ=\angle CQP=\delta. \]
Поскольку \(C,Q,B\) лежат на одной прямой,
\[ \angle PQB=180^\circ-\delta. \]
Из \(PQ=QB\) треугольник \(PQB\) равнобедренный, поэтому
\[ \angle PQB=180^\circ-2\beta. \]
Следовательно,
\[ \delta=2\beta. \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} 2\alpha-76^\circ=2\beta,\\ \alpha+\beta=180^\circ-104^\circ=76^\circ. \end{cases} \]
Отсюда
\[ \alpha=57^\circ,\qquad \beta=19^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle BAC=57^\circ,\qquad \angle ABC=19^\circ}. \]
Проверка:
\[ 57^\circ+19^\circ+104^\circ=180^\circ. \]
Задание 5
Всего \(7\) человек. Для расположения типов участников достаточно выбрать 3 места из 7 для скрипачей:
\[ \binom{7}{3}=35. \]
Чтобы все скрипачи были справа от всех виолончелистов, возможен только один порядок:
\[ \text{виолончелисты, виолончелисты, виолончелисты, виолончелисты, скрипачи, скрипачи, скрипачи}. \]
Поэтому вероятность равна
\[ \boxed{\frac{1}{35}}. \]
Обсуждение
10 сообщенийЗадание 6. Найдите все тройки действительных чисел а ≥ b > с такие, что a +b+ c = 306 и a+b+c=b2+c+a=c+a+ b.
В последней цепочке равенств, похоже, потерялись степени. Правильно ли условие читать так:
\[ a^2+b+c=b^2+c+a=c^2+a+b? \]
ответь на вопрос
Если имеется в виду условие
\[ a^2+b+c=b^2+c+a=c^2+a+b, \]
то решим его.
Из первого равенства:
\[ a^2+b+c=b^2+c+a \]
\[ (a-b)(a+b-1)=0. \]
Из второго:
\[ b^2+c+a=c^2+a+b \]
\[ (b-c)(b+c-1)=0. \]
Так как \(b>c\), то \(b-c\ne0\), поэтому
\[ b+c=1. \]
Рассмотрим первый множитель:
- Если \(a=b\), то из \(a+b+c=306\):
\[ 2b+c=306,\qquad c=1-b, \]
\[ 2b+1-b=306 \Rightarrow b=305. \]
Тогда
\[ a=305,\qquad c=-304. \]
- Если \(a+b=1\), то вместе с \(b+c=1\) получаем \(a=c\), что противоречит условию \(a\ge b>c\).
Следовательно, единственная тройка:
\[ \boxed{(a,b,c)=(305,\ 305,\ -304)}. \]
а в первом a+b+c=306 ответ где на него
Условие
\[ a+b+c=306 \]
как раз использовано. После равенств получили:
\[ b+c=1. \]
Так как в подходящем случае \(a=b\), подставляем в первое условие:
\[ a+b+c=2b+c=306. \]
Поскольку \(c=1-b\), имеем:
\[ 2b+1-b=306 \Rightarrow b=305. \]
Тогда
\[ a=305,\qquad c=1-305=-304. \]
Проверка первого условия:
\[ 305+305-304=306. \]
Ответ:
\[ \boxed{(a,b,c)=(305,305,-304)}. \]
Дан квадрат АБЦ Д со стороной 20 П середина аб Q середина БЦ Р середина П с середина КД найдите площадь треугольника АРС
Уточните, пожалуйста: правильно ли условие такое — \(P\) середина \(AB\), \(Q\) середина \(BC\), \(R\) середина \(PQ\), \(S\) середина \(CD\), и нужно найти \(S_{\triangle ARS}\)?
да
Пусть квадрат \(ABCD\) имеет координаты:
\[ A(0,0),\quad B(20,0),\quad C(20,20),\quad D(0,20). \]
Тогда:
- \(P\) — середина \(AB\): \(P(10,0)\);
- \(Q\) — середина \(BC\): \(Q(20,10)\);
- \(R\) — середина \(PQ\):
\[ R\left(\frac{10+20}{2},\frac{0+10}{2}\right)=(15,5); \]
- \(S\) — середина \(CD\): \(S(10,20)\).
Площадь треугольника \(ARS\):
\[ S_{\triangle ARS} =\frac12\left|15\cdot20-5\cdot10\right| =\frac12(300-50)=125. \]
\[ \boxed{125} \]
