Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. а) \(x=\dfrac53\);
   б) \(x=2\);
   в) \(x=5\);
   г) \(x=10\).

2. а) \((x,y)=(1,9)\) или \((9,1)\).

1. Иррациональные уравнения

а)
\[ \sqrt{3x-1}=2 \] Возводим обе части в квадрат: \[ 3x-1=4,\qquad 3x=5,\qquad x=\frac53. \] Проверка: \[ \sqrt{3\cdot\frac53-1}=\sqrt4=2. \]

б)
\[ \sqrt{6-x}=x \] Так как левая часть неотрицательна, \(x\ge 0\). Возводим в квадрат: \[ 6-x=x^2, \] \[ x^2+x-6=0, \] \[ (x-2)(x+3)=0. \] Получаем \(x=2\) или \(x=-3\). Значение \(x=-3\) не подходит, так как правая часть должна быть неотрицательной.

\[ \boxed{x=2} \]

в)
\[ x-1=\sqrt{6+2x} \] Правая часть неотрицательна, поэтому \(x-1\ge0\), то есть \(x\ge1\). Возводим в квадрат: \[ (x-1)^2=6+2x, \] \[ x^2-2x+1=6+2x, \] \[ x^2-4x-5=0, \] \[ (x-5)(x+1)=0. \] Из корней \(5\) и \(-1\) подходит только \(x=5\).

Проверка: \[ 5-1=\sqrt{6+2\cdot5}=4. \]

г)
\[ \sqrt{5x-1}=\sqrt{3x+19} \] При допустимых значениях \(x\) равны подкоренные выражения: \[ 5x-1=3x+19, \] \[ 2x=20,\qquad x=10. \] Проверка: \[ \sqrt{5\cdot10-1}=\sqrt{49}=7, \qquad \sqrt{3\cdot10+19}=\sqrt{49}=7. \]

2. Система

\[ \begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\ \sqrt{xy}=3. \end{cases} \]

Так как \(x,y\ge0\), то \[ \sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}. \] Обозначим: \[ a=\sqrt{x},\qquad b=\sqrt{y}. \] Тогда \[ \begin{cases} a+b=4,\\ ab=3. \end{cases} \]

Числа \(a\) и \(b\) являются корнями уравнения \[ t^2-4t+3=0, \] \[ (t-1)(t-3)=0. \] Значит, \((a,b)=(1,3)\) или \((3,1)\).

Возвращаемся к \(x\) и \(y\): \[ (x,y)=(1^2,3^2)=(1,9), \] \[ (x,y)=(3^2,1^2)=(9,1). \]

Проверка для обеих пар: \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1+3=4,\qquad \sqrt{xy}=\sqrt9=3. \]