Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. а) \(x=\dfrac53\);
   б) \(x=2\);
   в) \(x=5\);
   г) \(x=10\).

2. а)
   \[ (x;y)=(1;9),\ (9;1). \]

Решение

При решении уравнений с корнями сначала учитываем область допустимых значений, затем возводим обе части в квадрат и проверяем полученные корни.

1а)

\[ \sqrt{3x-1}=2 \]

\[ 3x-1=4,\qquad 3x=5,\qquad x=\frac53. \]

Проверка: \[ \sqrt{3\cdot\frac53-1}=\sqrt4=2. \]

1б)

\[ \sqrt{6-x}=x \]

Так как левая часть неотрицательна, \(x\ge0\). Также \(6-x\ge0\), поэтому \(0\le x\le6\).

Возводим в квадрат: \[ 6-x=x^2, \] \[ x^2+x-6=0, \] \[ (x-2)(x+3)=0. \]

Получаем \(x=2\) или \(x=-3\). Условию \(x\ge0\) подходит только

\[ \boxed{x=2}. \]

Проверка: \[ \sqrt{6-2}=\sqrt4=2. \]

1в)

\[ x-1=\sqrt{6+2x} \]

Правая часть неотрицательна, значит \(x-1\ge0\), то есть \(x\ge1\).

Возводим в квадрат: \[ (x-1)^2=6+2x, \] \[ x^2-2x+1=6+2x, \] \[ x^2-4x-5=0, \] \[ (x-5)(x+1)=0. \]

Корни: \(x=5\) и \(x=-1\). Условию \(x\ge1\) подходит только \(x=5\).

Проверка: \[ 5-1=4,\qquad \sqrt{6+2\cdot5}=\sqrt{16}=4. \]

1г)

\[ \sqrt{5x-1}=\sqrt{3x+19} \]

Возводим обе части в квадрат: \[ 5x-1=3x+19, \] \[ 2x=20, \] \[ x=10. \]

Проверка: \[ \sqrt{5\cdot10-1}=\sqrt{49}=7, \] \[ \sqrt{3\cdot10+19}=\sqrt{49}=7. \]

2а)

\[ \begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\ \sqrt{xy}=3. \end{cases} \]

Пусть \[ a=\sqrt{x},\qquad b=\sqrt{y}. \]

Тогда \(a,b\ge0\), и система принимает вид: \[ \begin{cases} a+b=4,\\ ab=3. \end{cases} \]

Числа \(a\) и \(b\) являются корнями уравнения \[ t^2-4t+3=0, \] \[ (t-1)(t-3)=0. \]

Значит, \(a\) и \(b\) равны \(1\) и \(3\) в любом порядке:

• \(a=1,\ b=3\), тогда \(x=1,\ y=9\);
• \(a=3,\ b=1\), тогда \(x=9,\ y=1\).

Проверка для обеих пар: \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1+3=4,\qquad \sqrt{xy}=\sqrt9=3. \]

На фото видны задания 1а–г и только пункт 2а.