Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. а) \(x=\dfrac53\);
   б) \(x=2\);
   в) \(x=5\);
   г) \(x=10\).

2. \((x,y)=(1,9)\) или \((9,1)\).

1. Решение уравнений

а)
\[ \sqrt{3x-1}=2 \] Возводим обе части в квадрат: \[ 3x-1=4,\qquad 3x=5,\qquad x=\frac53. \]

Проверка: \[ \sqrt{3\cdot\frac53-1}=\sqrt4=2. \]

б)
\[ \sqrt{6-x}=x \]

Так как левая часть неотрицательна, \(x\ge 0\). Также \(6-x\ge0\), значит \(x\le6\).

Возводим в квадрат: \[ 6-x=x^2, \] \[ x^2+x-6=0, \] \[ (x+3)(x-2)=0. \]

Получаем \(x=-3\) или \(x=2\). Условию \(x\ge0\) удовлетворяет только \(x=2\).

Проверка: \[ \sqrt{6-2}=\sqrt4=2. \]

в)
\[ x-1=\sqrt{6+2x} \]

Правая часть неотрицательна, поэтому \(x-1\ge0\), то есть \(x\ge1\).

Возводим в квадрат: \[ (x-1)^2=6+2x, \] \[ x^2-2x+1=6+2x, \] \[ x^2-4x-5=0, \] \[ (x-5)(x+1)=0. \]

Получаем \(x=5\) или \(x=-1\). Условию \(x\ge1\) подходит только \(x=5\).

Проверка: \[ 5-1=\sqrt{6+2\cdot5}=4. \]

г)
\[ \sqrt{5x-1}=\sqrt{3x+19} \]

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: \[ 5x-1\ge0\quad\Rightarrow\quad x\ge\frac15. \]

Возводим в квадрат: \[ 5x-1=3x+19, \] \[ 2x=20, \] \[ x=10. \]

Проверка: \[ \sqrt{5\cdot10-1}=\sqrt{49}=7, \] \[ \sqrt{3\cdot10+19}=\sqrt{49}=7. \]

2. Система

\[ \begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\ \sqrt{xy}=3. \end{cases} \]

Положим: \[ a=\sqrt{x},\qquad b=\sqrt{y}. \]

Тогда \(a,b\ge0\), и поскольку \(x,y\ge0\), \[ \sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}=ab. \]

Получаем систему: \[ \begin{cases} a+b=4,\\ ab=3. \end{cases} \]

Числа \(a\) и \(b\) являются корнями уравнения: \[ t^2-4t+3=0, \] \[ (t-1)(t-3)=0. \]

Значит, \((a,b)=(1,3)\) или \((3,1)\). Возвращаемся к \(x\) и \(y\): \[ (x,y)=(1^2,3^2)=(1,9), \] \[ (x,y)=(3^2,1^2)=(9,1). \]

Алгоритм для похожих уравнений с корнями: найти ОДЗ, учесть неотрицательность корня, возвести в квадрат, решить полученное уравнение и обязательно проверить найденные корни.