Задание 2.14
Краткий ответ
а)
\[
\begin{aligned}
108&=2^2\cdot3^3,\\
225&=3^2\cdot5^2,\\
270&=2\cdot3^3\cdot5,\\
512&=2^9,\\
945&=3^3\cdot5\cdot7,\\
1024&=2^{10}.
\end{aligned}
\]
б)
\[
\begin{aligned}
90&=2\cdot3^2\cdot5,\\
180&=2^2\cdot3^2\cdot5,\\
270&=2\cdot3^3\cdot5,\\
350&=2\cdot5^2\cdot7,\\
450&=2\cdot3^2\cdot5^2,\\
1350&=2\cdot3^3\cdot5^2,\\
4500&=2^2\cdot3^2\cdot5^3.
\end{aligned}
\]
в)
\[
\begin{aligned}
13&=13,\\
2002&=2\cdot7\cdot11\cdot13,\\
1225&=5^2\cdot7^2,\\
14\,014&=2\cdot7^2\cdot11\cdot13,\\
90\,720&=2^5\cdot3^4\cdot5\cdot7.
\end{aligned}
\]
Как выполнять такие задания
Число последовательно делят на простые числа \(2,3,5,7,\ldots\), пока не получится \(1\). Повторяющиеся множители записывают степенью:
\[ \begin{aligned} 108&=2\cdot54=2\cdot2\cdot27=2^2\cdot3^3,\\ 945&=3\cdot315=3^2\cdot105=3^3\cdot5\cdot7,\\ 2002&=2\cdot1001=2\cdot7\cdot143=2\cdot7\cdot11\cdot13,\\ 90\,720&=2^5\cdot2835=2^5\cdot3^4\cdot5\cdot7. \end{aligned} \]
Проверка
Например,
\[ 2^5\cdot3^4\cdot5\cdot7 =32\cdot81\cdot5\cdot7 =90\,720, \]
а
\[ 2\cdot7^2\cdot11\cdot13=14\,014. \]
Все множители в разложениях — простые числа.
Обсуждение
2 сообщенияНомер 2.14 реши все расписывая
Распишем каждое число поэтапно, деля его на простые множители.
а)
1) Число \(108\)
\[ 108=2\cdot54=2\cdot2\cdot27=2^2\cdot3\cdot9=2^2\cdot3^3. \]
Ответ:
\[ \boxed{108=2^2\cdot3^3} \]
2) Число \(225\)
\[ 225=3\cdot75=3\cdot3\cdot25=3^2\cdot5^2. \]
\[ \boxed{225=3^2\cdot5^2} \]
3) Число \(270\)
\[ 270=2\cdot135=2\cdot3\cdot45 =2\cdot3^2\cdot15 =2\cdot3^3\cdot5. \]
\[ \boxed{270=2\cdot3^3\cdot5} \]
4) Число \(512\)
\[ \begin{aligned} 512&=2\cdot256=2^2\cdot128=2^3\cdot64\\ &=2^4\cdot32=2^5\cdot16=2^6\cdot8\\ &=2^7\cdot4=2^8\cdot2=2^9. \end{aligned} \]
\[ \boxed{512=2^9} \]
5) Число \(945\)
\[ 945=3\cdot315=3^2\cdot105=3^3\cdot35=3^3\cdot5\cdot7. \]
\[ \boxed{945=3^3\cdot5\cdot7} \]
6) Число \(1024\)
\[ \begin{aligned} 1024&=2\cdot512=2^2\cdot256=2^3\cdot128\\ &=2^4\cdot64=2^5\cdot32=2^6\cdot16\\ &=2^7\cdot8=2^8\cdot4=2^9\cdot2=2^{10}. \end{aligned} \]
\[ \boxed{1024=2^{10}} \]
б)
1) Число \(90\)
\[ 90=2\cdot45=2\cdot3\cdot15=2\cdot3^2\cdot5. \]
\[ \boxed{90=2\cdot3^2\cdot5} \]
2) Число \(180\)
\[ 180=2\cdot90=2^2\cdot45 =2^2\cdot3\cdot15 =2^2\cdot3^2\cdot5. \]
\[ \boxed{180=2^2\cdot3^2\cdot5} \]
3) Число \(270\)
\[ 270=2\cdot135=2\cdot3\cdot45 =2\cdot3^2\cdot15 =2\cdot3^3\cdot5. \]
\[ \boxed{270=2\cdot3^3\cdot5} \]
4) Число \(350\)
\[ 350=2\cdot175=2\cdot5\cdot35=2\cdot5^2\cdot7. \]
\[ \boxed{350=2\cdot5^2\cdot7} \]
5) Число \(450\)
\[ 450=2\cdot225=2\cdot3\cdot75 =2\cdot3^2\cdot25 =2\cdot3^2\cdot5^2. \]
\[ \boxed{450=2\cdot3^2\cdot5^2} \]
6) Число \(1350\)
\[ 1350=2\cdot675=2\cdot3\cdot225 =2\cdot3^2\cdot75 =2\cdot3^3\cdot25 =2\cdot3^3\cdot5^2. \]
\[ \boxed{1350=2\cdot3^3\cdot5^2} \]
7) Число \(4500\)
\[ \begin{aligned} 4500&=2\cdot2250=2^2\cdot1125\\ &=2^2\cdot3\cdot375 =2^2\cdot3^2\cdot125\\ &=2^2\cdot3^2\cdot5^3. \end{aligned} \]
\[ \boxed{4500=2^2\cdot3^2\cdot5^3} \]
в)
1) Число \(13\)
Число \(13\) является простым, поэтому:
\[ \boxed{13=13} \]
2) Число \(2002\)
\[ 2002=2\cdot1001=2\cdot7\cdot143 =2\cdot7\cdot11\cdot13. \]
\[ \boxed{2002=2\cdot7\cdot11\cdot13} \]
3) Число \(1225\)
\[ 1225=5\cdot245=5^2\cdot49=5^2\cdot7^2. \]
\[ \boxed{1225=5^2\cdot7^2} \]
4) Число \(14\,014\)
\[ 14\,014=2\cdot7007=2\cdot7\cdot1001 =2\cdot7^2\cdot143 =2\cdot7^2\cdot11\cdot13. \]
\[ \boxed{14\,014=2\cdot7^2\cdot11\cdot13} \]
5) Число \(90\,720\)
\[ \begin{aligned} 90\,720&=2\cdot45\,360=2^2\cdot22\,680\\ &=2^3\cdot11\,340=2^4\cdot5670\\ &=2^5\cdot2835=2^5\cdot3\cdot945\\ &=2^5\cdot3^2\cdot315 =2^5\cdot3^3\cdot105\\ &=2^5\cdot3^4\cdot35 =2^5\cdot3^4\cdot5\cdot7. \end{aligned} \]
\[ \boxed{90\,720=2^5\cdot3^4\cdot5\cdot7} \]
