Конспект: перпендикулярность прямой и плоскости

1. Определение

Прямая \(a\) называется перпендикулярной плоскости \(\alpha\), если она перпендикулярна каждой прямой плоскости \(\alpha\), проходящей через точку пересечения прямой и плоскости.

Обозначение:

\[ a \perp \alpha. \]

Если \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(O\), то \(O\) называют основанием перпендикуляра.

---

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая \(a\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(b\) и \(c\), лежащим в плоскости \(\alpha\), то

\[ a \perp \alpha. \]

Схема:

\[ \begin{cases} b \subset \alpha, \quad c \subset \alpha,\\ b \cap c = O,\\ a \perp b, \quad a \perp c \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad a \perp \alpha. \]

Важно: прямые \(b\) и \(c\) должны пересекаться.

---

3. Основное свойство

Если

\[ a \perp \alpha, \]

то прямая \(a\) перпендикулярна любой прямой плоскости \(\alpha\), проходящей через основание перпендикуляра.

---

4. Теорема о единственности

Через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости.

---

5. Параллельные прямые и плоскость

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости:

\[ a \parallel b,\quad a \perp \alpha \quad\Longrightarrow\quad b \perp \alpha. \]

Также:

\[ a \perp \alpha,\quad \alpha \parallel \beta \quad\Longrightarrow\quad a \perp \beta. \]

---

6. Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка \(A\) не лежит в плоскости \(\alpha\).

• Отрезок \(AH\), перпендикулярный плоскости \(\alpha\), называется перпендикуляром.
• Отрезок \(AB\), соединяющий точку \(A\) с точкой \(B\) плоскости \(\alpha\), но не являющийся перпендикуляром, называется наклонной.
• Отрезок \(HB\) называется проекцией наклонной \(AB\) на плоскость \(\alpha\).

Теорема о трёх перпендикулярах:

Если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

---

7. Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из точки к плоскости:

\[ d(A,\alpha)=AH. \]

Перпендикуляр — самый короткий отрезок от точки до плоскости:

\[ AH<AB, \]

где \(AB\) — любая наклонная.

---

8. Как доказать, что прямая перпендикулярна плоскости

1. Найти в плоскости две пересекающиеся прямые.
2. Доказать, что данная прямая перпендикулярна каждой из них.
3. Применить признак:

\[ a\perp b,\quad a\perp c,\quad b,c\subset\alpha,\quad b\cap c\ne\varnothing \]

\[ \Longrightarrow a\perp\alpha. \]

Пример

В пирамиде \(SABC\) известно:

\[ SA\perp AB,\qquad SA\perp AC, \]

а прямые \(AB\) и \(AC\) пересекаются и лежат в плоскости \(ABC\). Тогда:

\[ SA\perp (ABC). \]

---

Главное запомнить

\[ \boxed{\text{Чтобы доказать } a\perp\alpha,\text{ достаточно доказать }a\perp b\text{ и }a\perp c,} \]

где \(b\) и \(c\) — две пересекающиеся прямые плоскости \(\alpha\).