Все подробнее что сократили что зделаллт что зачеркнули
Краткие ответы
135. Упростите выражение:
а) \(\boxed{4xy^2}\);
б) \(\boxed{\dfrac{4}{9cd}}\);
в) \(\boxed{-\dfrac{5x}{14a}}\);
г) \(\boxed{\dfrac{2acd^3}{b}}\).
136. Выполните деление:
а) \(\boxed{\dfrac{18x}{m^2n^5}}\);
б) \(\boxed{\dfrac{10bx}{3}}\);
в) \(\boxed{\dfrac{2x}{3my^3}}\);
г) \(\boxed{\dfrac{450x^3}{ab}}\).
137. Представьте в виде дроби:
а) \(\boxed{\dfrac{9x^4}{2y^4}}\);
б) \(\boxed{\dfrac{\pi pq^2}{21}}\).
138. Упростите выражение:
а) \(\boxed{\dfrac{5m^8}{3n^8}}\);
б) \(\boxed{\dfrac{32x^6}{2401y^3}}\).
139. Представьте в виде дроби и сократите:
а) \(\boxed{\dfrac{1}{x-3y}}\);
б) \(\boxed{\dfrac{a-3b}{a+3b}}\);
в) \(\boxed{\dfrac{x-7y}{x+7y}}\);
г) \(\boxed{\dfrac{4n-m}{2(m+4n)}}\).
Главное правило
Знак «\(:\)» означает деление:
\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}. \]
То есть вторую дробь переворачиваем и заменяем деление умножением.
Сокращать можно только множители, то есть то, что соединено умножением. Например:
\[ \frac{6x^2}{3x}=2x. \]
Но в выражении \(x+3y\) нельзя зачеркнуть отдельно \(x\), потому что это сумма, а не множитель.
135
а)
\[ \frac{6x^2}{5y}:\frac{3x}{10y^3} = \frac{6x^2}{5y}\cdot\frac{10y^3}{3x}. \]
Записываем все множители:
\[ \frac{6\cdot 10\cdot x^2\cdot y^3} {5\cdot 3\cdot y\cdot x}. \]
Сокращаем:
- \(6\) и \(3\): \(6:3=2\);
- \(10\) и \(5\): \(10:5=2\);
- \(x^2:x=x\);
- \(y^3:y=y^2\).
Получаем:
\[ 2\cdot2\cdot xy^2=\boxed{4xy^2}. \]
б)
\[ \frac{8c}{21d^2}:\frac{6c^2}{7d} = \frac{8c}{21d^2}\cdot\frac{7d}{6c^2}. \]
\[ \frac{8\cdot7\cdot c\cdot d} {21\cdot6\cdot d^2\cdot c^2}. \]
Сокращаем:
- \(7\) и \(21\): \(21:7=3\);
- \(8\) и \(6\) на \(2\): \(8:2=4,\;6:2=3\);
- \(c:c^2=\dfrac1c\);
- \(d:d^2=\dfrac1d\).
Тогда:
\[ \boxed{\frac{4}{9cd}}. \]
в)
\[ \frac{3ab}{4xy}: \left(-\frac{21a^2b}{10x^2y}\right) = \frac{3ab}{4xy}\cdot \left(-\frac{10x^2y}{21a^2b}\right). \]
Минус остаётся один:
\[ -\frac{3\cdot10\cdot a\cdot b\cdot x^2\cdot y} {4\cdot21\cdot x\cdot y\cdot a^2\cdot b}. \]
Сокращаем:
- \(3\) и \(21\): остаются \(1\) и \(7\);
- \(10\) и \(4\) на \(2\): остаются \(5\) и \(2\);
- \(a:a^2=\dfrac1a\);
- \(b:b=1\);
- \(x^2:x=x\);
- \(y:y=1\).
Получаем:
\[ \boxed{-\frac{5x}{14a}}. \]
г)
\[ -\frac{18a^2b^2}{5cd}: \left(-\frac{9ab^3}{5c^2d^4}\right). \]
Два минуса дают плюс:
\[ \frac{18a^2b^2}{5cd}\cdot \frac{5c^2d^4}{9ab^3}. \]
\[ \frac{18\cdot5\cdot a^2b^2c^2d^4} {5\cdot9\cdot ab^3cd}. \]
Сокращаем:
- \(18:9=2\);
- \(5\) и \(5\);
- \(a^2:a=a\);
- \(b^2:b^3=\dfrac1b\);
- \(c^2:c=c\);
- \(d^4:d=d^3\).
Ответ:
\[ \boxed{\frac{2acd^3}{b}}. \]
136
а)
\[ \frac{6x^2}{m^3n^7}:\frac{x}{3mn^2} = \frac{6x^2}{m^3n^7}\cdot\frac{3mn^2}{x}. \]
\[ \frac{6\cdot3\cdot x^2\cdot m\cdot n^2} {m^3n^7\cdot x}. \]
Сокращаем:
- \(x^2:x=x\);
- \(m:m^3=\dfrac1{m^2}\);
- \(n^2:n^7=\dfrac1{n^5}\).
Получаем:
\[ \boxed{\frac{18x}{m^2n^5}}. \]
При сокращении степеней показатели вычитаются:
\[ m:m^3=m^{1-3}=\frac1{m^2}, \qquad n^2:n^7=n^{2-7}=\frac1{n^5}. \]
б)
\[ \frac{35x^2y}{12ab}:\frac{7xy}{8ab^2} = \frac{35x^2y}{12ab}\cdot \frac{8ab^2}{7xy}. \]
\[ \frac{35\cdot8\cdot x^2y\cdot ab^2} {12\cdot7\cdot ab\cdot xy}. \]
Сокращаем:
- \(35:7=5\);
- \(8:12=\dfrac23\);
- \(x^2:x=x\);
- \(y:y=1\);
- \(a:a=1\);
- \(b^2:b=b\).
\[ \frac{5\cdot2\cdot xb}{3} = \boxed{\frac{10bx}{3}}. \]
в)
\[ \frac{8mx^2}{3y^3}:(4m^2x) = \frac{8mx^2}{3y^3}\cdot\frac1{4m^2x}. \]
\[ \frac{8mx^2}{12m^2xy^3}. \]
Сокращаем:
- \(8:12=\dfrac23\);
- \(m:m^2=\dfrac1m\);
- \(x^2:x=x\).
Ответ:
\[ \boxed{\frac{2x}{3my^3}}. \]
г)
\[ 15a^2bx:\frac{a^3b^2}{30x^2} = 15a^2bx\cdot\frac{30x^2}{a^3b^2}. \]
\[ \frac{15\cdot30\cdot a^2b x^3}{a^3b^2}. \]
Сокращаем:
- \(a^2:a^3=\dfrac1a\);
- \(b:b^2=\dfrac1b\);
- \(x\cdot x^2=x^3\).
\[ \boxed{\frac{450x^3}{ab}}. \]
137
а)
\[ \frac{3x^2}{5y^3}\cdot \frac{9x^3}{2y^2}\cdot \frac{5y}{3x}. \]
Объединяем в одну дробь:
\[ \frac{3\cdot9\cdot5\cdot x^2x^3y} {5\cdot2\cdot3\cdot y^3y^2x}. \]
Сокращаем \(3\) с \(3\), \(5\) с \(5\):
\[ \frac{9x^5y}{2y^5x}. \]
Далее:
\[ x^5:x=x^4, \qquad y:y^5=\frac1{y^4}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{9x^4}{2y^4}}. \]
б)
При делении на последнюю дробь переворачиваем её:
\[ \frac{\pi p^4}{10q^3}\cdot \frac{5q}{14p^2}: \frac{3p}{4q^4} = \frac{\pi p^4}{10q^3}\cdot \frac{5q}{14p^2}\cdot \frac{4q^4}{3p}. \]
\[ \frac{20\pi p^4q^5}{420p^3q^3}. \]
Сокращаем:
- \(20:420=\dfrac1{21}\);
- \(p^4:p^3=p\);
- \(q^5:q^3=q^2\).
Получаем:
\[ \boxed{\frac{\pi pq^2}{21}}. \]
138
а)
\[ \frac{11m^4}{6n^2}\cdot \frac{5m}{6n^3}: \frac{11n^3}{12m^3} \]
\[ = \frac{11m^4}{6n^2}\cdot \frac{5m}{6n^3}\cdot \frac{12m^3}{11n^3}. \]
\[ \frac{11\cdot5\cdot12\cdot m^{4+1+3}} {6\cdot6\cdot11\cdot n^{2+3+3}}. \]
Сокращаем \(11\) с \(11\), а \(60:36=5:3\):
\[ \boxed{\frac{5m^8}{3n^8}}. \]
б)
\[ \frac{8x^3}{7y^3}\cdot \frac{4x^4}{49y^2}: \frac{7x}{y^2} = \frac{8x^3}{7y^3}\cdot \frac{4x^4}{49y^2}\cdot \frac{y^2}{7x}. \]
\[ \frac{32x^7y^2}{7\cdot49\cdot7\cdot xy^5}. \]
Так как
\[ 7\cdot49\cdot7=2401, \]
сокращаем:
\[ x^7:x=x^6, \qquad y^2:y^5=\frac1{y^3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{32x^6}{2401y^3}}. \]
139
Здесь сначала нужно разложить выражения на множители. Используем формулы:
\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v), \]
\[ u^2-2uv+v^2=(u-v)^2, \]
\[ u^2+2uv+v^2=(u+v)^2. \]
а)
\[ (x+3y):(x^2-9y^2) = \frac{x+3y}{x^2-(3y)^2}. \]
Разложим знаменатель:
\[ x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y). \]
Тогда:
\[ \frac{x+3y}{(x-3y)(x+3y)}. \]
Зачёркиваем одинаковый множитель \(x+3y\):
\[ \boxed{\frac1{x-3y}}. \]
б)
\[ (a^2-6ab+9b^2):(a^2-9b^2) \]
\[ = \frac{(a-3b)^2}{(a-3b)(a+3b)}. \]
Квадрат в числителе — это два одинаковых множителя:
\[ (a-3b)^2=(a-3b)(a-3b). \]
Зачёркиваем один множитель \(a-3b\):
\[ \boxed{\frac{a-3b}{a+3b}}. \]
в)
\[ (x^2-49y^2):(49y^2+14xy+x^2) \]
Числитель:
\[ x^2-49y^2=(x-7y)(x+7y). \]
Знаменатель переставим:
\[ 49y^2+14xy+x^2=x^2+14xy+49y^2=(x+7y)^2. \]
Получаем:
\[ \frac{(x-7y)(x+7y)}{(x+7y)(x+7y)}. \]
Зачёркиваем один множитель \(x+7y\):
\[ \boxed{\frac{x-7y}{x+7y}}. \]
г)
\[ (m-4n)^2:(32n^2-2m^2) = \frac{(m-4n)^2}{32n^2-2m^2}. \]
Вынесем \(2\):
\[ 32n^2-2m^2=2(16n^2-m^2). \]
Разность квадратов:
\[ 16n^2-m^2=(4n-m)(4n+m). \]
Значит,
\[ \frac{(m-4n)^2}{2(4n-m)(4n+m)}. \]
Но
\[ 4n-m=-(m-4n), \qquad 4n+m=m+4n. \]
Поэтому:
\[ \frac{(m-4n)^2}{-2(m-4n)(m+4n)}. \]
Зачёркиваем один множитель \(m-4n\):
\[ -\frac{m-4n}{2(m+4n)}. \]
Минус можно внести в числитель:
\[ \boxed{\frac{4n-m}{2(m+4n)}}. \]
Проверка
Например, для 135а:
\[ 4xy^2\cdot\frac{3x}{10y^3} = \frac{12x^2y^2}{10y^3} = \frac{6x^2}{5y}, \]
то есть после умножения на делитель снова получается исходная дробь. Во всех остальных пунктах проверка выполняется так же.
