73 и 74

Краткий ответ

73. \(y=\dfrac14x^2\)

График — парабола с вершиной \(O(0;0)\), ветви направлены вверх. Для построения можно взять точки:

\[ (-4;4),\;(-2;1),\;(0;0),\;(2;1),\;(4;4). \]

а)

\[ \begin{aligned} x=-2{,}5&\Rightarrow y=1{,}5625,\\ x=-1{,}5&\Rightarrow y=0{,}5625,\\ x=3{,}5&\Rightarrow y=3{,}0625. \end{aligned} \]

б) Из \(y=\dfrac14x^2\) получаем \(x^2=4y\):

\[ \begin{array}{c|c} y & x\\ \hline 5 & x=\pm2\sqrt5\\ 3 & x=\pm2\sqrt3\\ 2 & x=\pm2\sqrt2 \end{array} \]

в) Функция:

• убывает на \((-\infty;0]\);
• возрастает на \([0;+\infty)\).

74. \(y=-2x^2\)

График — парабола с вершиной \(O(0;0)\), ветви направлены вниз. Точки для построения:

\[ (-2;-8),\;(-1;-2),\;(0;0),\;(1;-2),\;(2;-8). \]

а)

\[ \begin{aligned} x=-1{,}5&\Rightarrow y=-4{,}5,\\ x=0{,}6&\Rightarrow y=-0{,}72,\\ x=1{,}5&\Rightarrow y=-4{,}5. \end{aligned} \]

б) Из \(y=-2x^2\) получаем \(x^2=-\dfrac y2\):

\[ \begin{array}{c|c} y & x\\ \hline -1 & x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\\ -3 & x=\pm\dfrac{\sqrt6}{2}\\ -4{,}5 & x=\pm1{,}5 \end{array} \]

в) Функция:

• возрастает на \((-\infty;0]\);
• убывает на \([0;+\infty)\).

Как понять принцип

У обеих функций есть \(x^2\), поэтому значения при противоположных \(x\) одинаковы:

\[ f(-x)=f(x). \]

Значит, графики симметричны относительно оси \(Oy\). Знак коэффициента перед \(x^2\) определяет направление ветвей:

• коэффициент положительный — ветви вверх;
• коэффициент отрицательный — ветви вниз.

Проверка, например для задания 73:

\[ x=2\sqrt5\Rightarrow y=\frac{(2\sqrt5)^2}{4} =\frac{20}{4}=5. \]